Wissenschaft der Logik — Band 1 - 25

für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialkalkul
gemacht wird, angeführt worden, ohne daß das Eigenthümliche und
Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet
zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines
sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie
das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden
berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die
Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die
Grundbestimmung, daß das Quantum als solches der Bestimmungen, welche
nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf
die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen
genommen werden. Aber Theils ist hiermit das Affirmative überhaupt,
welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und
herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative
Größebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse
liegend, sich ergeben hat;—Theils aber, indem dieß Verhältniß selbst
wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie
das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch
wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben
Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der
eben ausgehobenen lagrangeschen Exposition ist das bestimmte
Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe
liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen
behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Große
der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intraktable
Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu
behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der
ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Theile, welche
an dem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen.
Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das
Eigenthümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der
Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Kalkuls ist. Diese
Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren
Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die
Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu thun war, zweckmäßig
gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den
gesammten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und
Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, daß das aufgezeigte
Princip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer
Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das
Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, daß wie jede besondere
Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältniß der Größe zu
ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addiren, Multipliciren, das
Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit
Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituirt, ebenso der Differential- und
Integralkalkul; für das diesem Kalkul Angehörige möchte der Name des
Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung
oder Potenzirung der passendste seyn, weil er der Einsicht der Natur
der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern
Größenverhältnissen, wie Addiren u.s.f. bei diesem Kalkul überhaupt
gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen—Kreisund
Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der
erforderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den
Entwicklungsfunktionen traktabler zu machen. Mit der Reiheform hat die
Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse
geineinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen
die Koefficienten der Glieder heissen, zu bestimmen; aber indem das
Interesse jenes Kalkuls nur auf das Verhältniß der ursprünglichen
Funktion zu dem nächsten Koefficienten ihrer Entwicklung geht, will die
Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Koefficienten versehen sind,
geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche,
das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des
Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung,
welche im Unendlichen jenes Kalkuls liegt, nichts gemein. Ebenso ist
das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die
Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die
Entwickelung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere
Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels;
die Reihe, da sie in der That es nicht ist, die verlangt wird, führt
ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe
macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange's, der die Form der
Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt;
obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt
wird, die wahre Eigenthümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die
Formen von dx, dy u. s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt
derjenige Theil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der
abgeleiteten (- Entwickelungs—) Funktion zukommt, und es sich damit
zeigt, daß die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich
handelt.[13]
[13] In der obenangeführten Kritik (Jahrb. für wissensch. Krit. II. B.
1827. Nr. 155. 6. folg.) finden sich interessante Äußerungen eines
gründlichen Gelehrten des Faches, Um. Spehr's, aus seinen neuen
Principien des Fluentenkalkuls, Braunschw. 1826. angeführt, die
nämlich einen Umstand betreffen, der wesentlich zu den Dunkelheiten
und dem Unwissenschaftlichen in der Differentialrechnung beitrage, und
stimmen mit dem überein, was über das allgemeine Verhältniß der
Theorie dieses Kalkuls gesagt worden ist: "man hat" heißt es daselbst,
"rein arithmetische Untersuchungen, welche freilich von allen
ähnlichen zunächst auf die Differentialrechnung Bezug haben, nicht von
der eigentlichen Diff.-Rechnung gesondert, ja diese Untersuchungen
wohl gar, wie Lagrange, für die Sache selbst gehalten, während man
diese nur als Anwendung jener ansah. Diese arithmetischen
Untersuchungen begreifen die Regeln der Differentation, die Ableitung
des taylorschen Lehrsatzes u.s.w. ja selbst die verschiedenen
Integrationsmethoden in sich. Es ist ganz umgekehrt der Fall, jene
Anwendungen sind es gerade, welche den Gegenstand der eigentlichen
Differential-Rechnung ausmachen, und alle jene arithmetischen
Entwicklungen und Operationen setzt sie aus der Analysis voraus."—Es
ist aufgezeigt worden, wie bei Lagrange die Trennung der sogenannten
Anwendung von dem Verfahren des allgemeinen Theils, das von den Reihen
ausgeht, eben dazu dient, die eigenthümliche Sache der
Differ.-Rechnung für sich zum Vorschein zu bringen. Aber bei der
interessanten Einsicht des Hrn. Vfs., daß eben die sogenannten
Anwendungen es sind, welche den Gegenstand der eigentlichen
Differ.-Rechnung ausmachen, ist es zu verwundern, wie derselbe sich in
die (ebendas. angeführte) formelle Metaphysik von kontinuirlicher
Größe, Werden, Fließen u.s.f. hat einlassen und solchen Ballast noch
mit neuem gar hat vermehren wollen; formell sind diese Bestimmungen,
indem sie nur allgemeine Kategorien sind, welche eben das Specifische
der Sache nicht angeben, die aus den konkreten Lehren, den
Anwendungen, zu erkennen und zu abstrahiren war.

Anmerkung 3. Noch andere mit der qualitativen Größenbestimmtheit
zusammenhängende Formen.
Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen
Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher
aufgezeigt worden, daß sie in diesem Kalkul als Potenzenbestimmtheit
nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer
Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die
qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen,
schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit
zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in
diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.
Es ist, indem wir vom Vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht
zuerst daran zu erinnern, daß die unterschiedenen Potenzenbestimmungen
von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, daß sie nur
formell, und ganz homogen darin sind, daß sie Zahlengrößen bedeuten,
die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht
haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das
analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als
das Übergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu
krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, daß die
räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuirlichen Größen
gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefaßt werden, die Fläche also
als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f.
Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die
Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu
bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich
arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu
findenden Größebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und
Gleichung für das Konkrete, die kontinuirliche Größe, abgeleitet werden
soll. Für die Probleme, wo sich nornehmlich das Interesse zeigt, dieß
Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich
selbst Bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er
im Gegentheil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das
Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat
läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das
Gesetz des weitern Fortbestimmens finden läßt, ohne die geforderte
vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können.
Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener
Umkehrung des Ganges gehabt und das Diskrete zum Ausgangspunkte gemacht
zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's
Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der
erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem
rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem
Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem
Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, daß die Peripherie des Kreises
ebenso viele Theile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder
als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden
könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Kontinuirlichen in die
Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei
vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er in dem
Differentialkalkul haben soll.—Wenn nun für solche diskrete eine
Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner
zusammengefaßt werden, wesentlich als Elemente des Kontinuirlichen
seyn. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien
keine Fläche giebt, werden die Punkte schon sogleich als lineare
genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene
Lineare noch keine Linien seyn sollen, was sie seyn würden, wenn sie
als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein
vorgestellt. Das Diskrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens
fähig, in welchem die Momente den Sinn von diskretem Eins behalten; der
analytische Übergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist
nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von
der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als
Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die
lineare, dieser die Flächenqualität gegeben, damit die Summe als von
kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.
Das Bedürfniß, dieß Moment des qualitativen Übergangs zu erhalten und
dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muß als die
Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene
Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die größte
Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte
gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst,
welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein
Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue
Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer
Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß
das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung
ein Übergang in eine höhere Dimension,—die arithmetische Multiplikation
von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind,
zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4
lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen
Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in
beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien
mit Linien bietet sich zunächst als etwas Widersinniges dar, insofern
die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung
von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte
ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was
Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße,—es ist, ductus
lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch
ductus puncti in lineam—eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern
ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer
Dimension; das Übergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen
derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der
Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dieß dasselbe, was so vorgestellt
wird, daß die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sey; aber die
Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener
Vorstellung mehr nur als eine zufällige, äußerliche Veränderung des
Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Außersichkommen
ausgedrückt worden, zu nehmen,—die qualitative Veränderung, und welche
arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in
die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist.—Es kann hiezu noch bemerkt
werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein
Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein
eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so
ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum
arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit
solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch
die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der
einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Princip hat, die
feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative giebt, so sehr ist ihr
Produciren formell; 3. 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst
producirend ist 3. 3. 3. 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung
sich producirend wird bei 3. 3. 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein
Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt,
seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in
der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in
Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite,
unter der geometrischen Bestimmung (im kepplerischen Gesetze s[hoch 3]
: t[hoch 2]), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen
steht, von Wirksamkeit zeigen.
Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der
vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst
erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit;
hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch
gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche
u.s.f. Der qualitative Übergang nun, der von dem Diskreten, als in
welches die kontinuirliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem
Kontinuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.
Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine
Multiplikation, also den Übergang von der linearen in die
Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in
der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines
Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden
parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl
von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summirt werden
sollen.
Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden
Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die
Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu
seyn, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der
Schwierigkeit zu entgehen, daß eine Summe von Linien eine Fläche geben
sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als
unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in
dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und
durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt,
können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt
werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu
werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden
Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt
jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dieß letzte Quantum
ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen
Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines
Kontinuirlichen,—der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt,
zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit
Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist.
In dem einfachsten Falle nun eines Rektangels überhaupt a b ist jeder
der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern
selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das
Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine
Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein Lineares, dessen
Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine
Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch
das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist
die Multiplikation, das Qualitative des Übergangs aus der Dimension der
Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die
arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich,
wie dieser, die Größe eines Linearen.
Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber
auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu
Behufe des Resultates Statt hat. Dieß geschieht, wo es nicht darum zu
thun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in
einer Proportion. Es ist z.B. eine bekannte Art zu zeigen, daß eine
Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der
Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse,
indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten
genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der
entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird
geschlossen, verhalten auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen
ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine
Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der
gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich
kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das
Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere,
die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor
arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die
Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden
Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen
nothwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion
angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der
Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, daß die Vorstellung von
Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine
Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit
ankömmt.
Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die
früher erwähnte Methode der Untheilbaren des Cavalleri, die damit
ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen
nicht bedarf. Diese Untheilbaren sind Linien, indem er eine Fläche,
oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Konus u.s.f.
betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt
er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das
erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Untheilbaren
parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur
betrachtet, Der allgemeine Grundsatz Cavalleri's ist nun, (Exerc.
Geometr. VI.—das spätere Werk-Exerc. I. p. 6.), daß alle sowohl ebene,
als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien
sind, diese kollektive und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältniß
in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen."—Er
vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und
Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener
und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien
einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen
Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z.B. auch den
elementarischen Satz, daß Parallelogramme von gleicher Höhe im
Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher
Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren
gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, also die
ganzen Figuren. In der That machen die Linien nicht den Inhalt der
Figur als kontinuirlicher aus, aber den Inhalt, insofern er
arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch
welches allein die Bestimmtheit desselben gefaßt werden muß.
Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektiren,
der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer
Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der
Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist,
giebt man zu, daß der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die
Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z.B. die Gleichheit der
Figuren, die sich decken, beruht darauf, daß die begrenzenden Linien
sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie
ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht
die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der
Figuren, ihr Verhältniß, beruht, führt ein zweites Princip der
Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der euklidische Beweis von der
Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben,
führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuirliche;
in Cavalleri's Beweis, zunächst über die Proportionalität von
Parallelogrammen, ist die Grenze Größebestimmtheit als solche
überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem
Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, explicirt wird,
Diese gleichen oder in gleichem Verhältniß mit der Grundlinie stehenden
Linien, kollektiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse
stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht
gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien
erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen Cavalleri
giebt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von
den Untheilbaren es mit sich führe, daß der Anzahl nach unendliche
Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. 1.
Schol.); er macht den richtigen Unterschied, daß er nicht die Anzahl
derselben, welche wir nicht kennen,—d. i. vielmehr die, wie bemerkt
worden, eine zu Hülfe genommene leere Vorstellung ist,—sondern nur die
Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von
diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser
in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben
Grenzen eingeschlossen; das Kontinuirliche ist nichts anderes, als die
Untheilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es
nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt seyn, zu sagen, begrenzte
Kontinuirliche seyen nicht miteinander vergleichbar.
Man sieht, daß Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des
Kontinuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worin dessen
Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von
Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die
er dabei gebraucht, daß das Kontinuirliche aus den Untheilbaren
zusammengesetzt sey oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht
genügend, weil dabei die Anschauung des Kontinuirlichen oder, wie
vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch
genommen wird; statt zu sagen, "daß das Kontinuirliche nichts anderes
ist, als die Untheilbaren selbst," würde es richtiger und damit auch
sogleich für sich klar heißen, daß die Größebestimmtheit des
Kontinuirlichen keine andere ist, als die der Untheilbaren selbst.
—Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, daß es
größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, daß
die Untheilbaren das Kontinuirliche ausmachen, von der Schule gezogen
werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere
Bewußtseyn aus, daß er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung
der Zusammensetzung des Kontinuirlichen aus dem Untheilbaren genöthigt
sey; die Kontinuirlichen folgen nur der Proportion der Untheilbaren. Er
habe die Aggregate der Untheilbaren nicht so genommen, wie sie in die
Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien
oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine
bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um
denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, läßt er sich die
Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten
Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche
von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe.—Diese Manier
reducirt die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des
Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der
Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.
Über diese Form des Deckens kann zunächst noch diese Bemerkung gemacht
werden, daß sie überhaupt eine so zu sagen kindliche Hülfe für die
sinnliche Anschauung ist. In den elementarischen Sätzen über die
Dreiecke werden zwei solche neben einander vorgestellt, und indem von
ihren je sechs Stücken gewisse drei als gleich groß mit den
entsprechenden drei des andern Dreiecks angenommen werden, so wird
gezeigt, daß solche Dreiecke einander kongruent seyen, d. i. jedes auch
die übrigen drei Stücke gleich groß mit denen des andern habe, —weil
sie vermöge der Gleichheit nach jenen drei ersten einander decken. Die
Sache abstrakter gefaßt, so ist eben um dieser Gleichheit jeden Paars
der in beiden einander entsprechenden Stücke, nur Ein Dreieck
vorhanden; in diesem sind drei Stücke als bereits bestimmt angenommen,
woraus denn die Bestimmtheit auch der drei übrigen Stücke folgt. Die
Bestimmtheit wird auf diese Weise als in drei Stücken vollendet
aufgezeigt; für die Bestimmtheit als solche sind somit die drei übrigen
Stücke ein Überfluß, der Überfluß der sinnlichen Existenz, d. i. der
Anschauung der Kontinuität. In solcher Form ausgesprochen, tritt hier
die qualitative Bestimmtheit im Unterschiede von dem hervor, was in der
Anschauung vorliegt, dem Ganzen als einem in sich kontinuirlichen; das
Decken läßt diesen Unterschied nicht zum Bewußtseyn kommen.
Mit den Parallellinien und bei den Parallelogrammen tritt, wie bemerkt
worden, ein neuer Umstand, Theils die Gleichheit nur der Winkel Theils