Wissenschaft der Logik — Band 1 - 24

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Differentialgleichung und für das charakteristische Dreieck, wohl
unterschieden werden. Der hier gemachte Gebrauch ist berechtigt und
nothwendig; er fällt in den Umkreis der Geometrie, indem es zur
geometrischen Bestimmung einer Tangente als solcher gehört, daß
zwischen ihr und der Kurve, mit der sie einen Punkt gemeinschaftlich
hat, keine andere gerade Linie, die gleichfalls in diesen Punkt fiele,
durchgehen könne. Denn mit dieser Bestimmung ist die Qualität der
Tangente oder Nicht-Tangente auf den Größenunterschied zurückgeführt,
und diejenige Linie ist die Tangente, auf welche die größere
Kleinheit—schlechthin in Ansehung der Determination, auf welche es
ankommt, falle. Diese scheinbar nur relative Kleinheit enthält durchaus
nichts Empirisches, d. i. von einem Quantum als solchem Abhängiges, sie
ist qualitativ durch die Natur der Formel gesetzt, wenn der Unterschied
des Moments, von dem die zu vergleichende Größe abhängt, ein
Potenzenunterschied ist; indem derselbe auf i und i[hoch 2]
hinauskommt, und i, das zuletzt doch eine Zahl bedeuten soll, dann als
ein Bruch vorzustellen ist, so ist i[hoch 2] an und für sich kleiner
als i, so daß selbst die Vorstellung von einer beliebigen Größe, in der
man i nehmen könne, hier überflüssig und sogar nicht an ihrem Orte ist.
Ebendamit hat der Erweis der größern Kleinheit nichts mit einem
Unendlich-Kleinen zu thun, das hiermit hier keineswegs hereinzukommen
hat.
Wäre es auch nur um der Schönheit und des heutigstags mehr vergessen,
aber wohlverdienten Ruhmes willen, daß ich noch Descartes
Tangentenmethode anführen will; sie hat übrigens auch eine Beziehung
auf die Natur der Gleichungen, über welche dann noch eine fernere
Bemerkung zu machen ist. Descartes trägt diese selbstständige Methode,
worin die geforderte lineare Bestimmung gleichfalls aus derselben
abgeleiteten Funktion gefunden wird, in seiner, sonst auch so fruchtbar
gewordenen Geometrie (liv. II. p. 357 ss. Oeuvres compl. ed. Cousin
Tom. V.) vor, indem er in derselben die große Grundlage von der Natur
der Gleichungen und deren geometrischer Konstruktion und der damit
sosehr erweiterten Analysis auf die Geometrie überhaupt, gelehrt hat.
Das Problem hat bei ihm die Form der Aufgabe, gerade Linien senkrecht
auf beliebige Orte einer Kurve zu ziehen, als wodurch Subtangente
u.s.f. bestimmt wird; man begreift die Befriedigung, die er daselbst
über seine Entdeckung, die einen Gegenstand von allgemeinem
wissenschaftlichen Interesse der damaligen Zeit betraf, und die sosehr
geometrisch ist und dadurch so hoch über den oben erwähnten bloßen
Regelmethoden seiner Nebenbuhler stand, ausdrückt: j'ose dire que c'est
ceci le problème le plus utile et le plus général, non seulement que je
sache, mais même que j'aie jamais desire de savoir en géometrie.—Er
legt für die Auflösung die analytische Gleichung des rechtwinklichten
Dreiecks zu Grund, das durch die Ordinate des Punkts der Kurve, auf
welcher die im Probleme verlangte gerade Linie senkrecht seyn soll,
dann durch diese selbst, die Normale, und drittens durch den Theil der
Achse, der durch die Ordinate und Normale abgeschnitten wird, durch die
Subnormale, gebildet wird. Aus der bekannten Gleichung einer Kurve wird
nun in jene Gleichung des Dreiecks der Werth es sey der Ordinate oder
der Abscisse substituirt, so hat man eine Gleichung des zweiten Grades
(und Descartes zeigt, wie auch Kurven, deren Gleichungen höhere Grade
enthalten, sich hierauf zurückführen), in welcher nur noch die eine der
veränderlichen Größen und zwar im Quadrat und in der ersten Potenz
vorkommt;—eine quadratische Gleichung, welche zunächst als eine
sogenannte unreine erscheint. Nun macht Descartes die Reflexion, daß
wenn der auf der Kurve angenommene Punkt als Durchschnittspunkt
derselben und eines Kreises vorgestellt wird, dieser Kreis die Kurve
noch in einem anderen Punkte schneiden wird, und alsdenn sich für die
zwei damit entstehenden und ungleichen x, zwei Gleichungen mit
denselben Konstanten und von derselben Form ergeben;—oder aber nur Eine
Gleichung mit ungleichen Werthen von x. Die Gleichung wird aber nur
Eine, für das Eine Dreieck, in welchem die Hypotenuse auf die Kurve
senkrecht, Normale, ist, was so vorgestellt wird, daß man die beiden
Durchschnittspunkte der Kurve durch den Kreis, zusammenfallen, diesen
also die Kurve berühren lasse. Damit aber fällt auch der Umstand der
ungleichen Wurzeln des x oder y der quadratischen Gleichung hinweg. Bei
einer quadratischen Gleichung von zwei gleichen Wurzeln nun aber ist
der Koefficient des Gliedes, das die Unbekannte in der ersten Potenz
enthält, das Doppelte der nur Einen Wurzel; dieß nun giebt eine
Gleichung, durch welche die verlangten Bestimmungen gefunden sind.
Dieser Gang ist für den genialen Griff eines ächt analytischen Kopfes
anzusehen, wogegen die ganz assertorisch angenommene Proportionalität
der Subtangente und der Ordinate mit den unendlich klein seyn sollenden
sogenannten Inkrementen der Abscisse und der Ordinate ganz zurücksteht.
Die auf die angegebene Weise erhaltene Endgleichung, welche den
Koefficienten des zweiten Gliedes der quadratischen Gleichung
gleichsetzt der doppelten Wurzel oder Unbekannten, ist dieselbe, welche
durch das Verfahren des Differentialkalkuls gefunden wird. x[hoch
2]—ax—b = 0 differentiirt giebt die neue Gleichung 2x—a = 0; oder
x[hoch 3]—px—q = 0 giebt 3x[hoch 2]—p = 0. Es bietet sich hierbei aber
die Bemerkung an, daß es sich keineswegs von selbst versteht, daß
solche abgeleitete Gleichung auch
richtig ist. Bei einer Gleichung mit zwei veränderlichen Größen, die
darum, daß sie veränderliche sind, den Charakter unbekannte Größen zu
seyn nicht verlieren, kommt, wie oben betrachtet wurde, nur ein
Verhältniß heraus, aus dem angegebenen einfachen Grunde, weil durch das
Substituiren der Funktionen der Potenzirung an die Stelle der Potenzen
selbst der Werth der beiden Glieder der Gleichung verändert wird, und
es für sich selbst noch unbekannt ist, ob auch zwischen ihnen bei so
veränderten Werthen noch eine Gleichung Statt finde. Die Gleichung
dy/dx = P drückt gar nichts weiter aus, als daß P ein Verhältniß ist,
und es ist dem dy/dx sonst kein reeller Sinn zuzuschreiben. Von diesem
Verhältniß = P ist es aber ebenso noch unbekannt, welchem andere
Verhältnisse es gleich sey; solche Gleichung, die Proportionalität,
giebt demselben erst einen Werth und Bedeutung.—Wie angegeben wurde,
daß man diese Bedeutung, was die Anwendung hieß, anderswoher, empirisch
aufnahm, so muß bei den hier in Rede stehenden durch Differentation
abgeleiteten Gleichungen anderswoher gewußt werden, ob sie gleiche
Wurzeln haben, um zu wissen, ob die erhaltene Gleichung noch richtig
sey. Dieser Umstand wird aber in den Lehrbüchern nicht ausdrücklich
bemerklich gemacht; er wird wohl dadurch beseitigt, daß eine Gleichung
mit einer unbekannten, auf Null gebracht, sogleich y gesetzt wird,
wodurch dann bei der Differentation allerdings ein dy/dx, nur ein
Verhältniß herauskommt. Der Funktionen-Kalkul soll es allerdings mit
Funktionen der Potenzirung oder die Differentialrechnung mit
Differentialien zu thun haben, aber daraus folgt für sich noch
keineswegs, daß die Größen, deren Differentialien oder Funktionen der
Potenzirung genommen werden, selbst auch nur Funktionen anderer Größen
seyn sollen. In dem theoretischen Theile, der Anweisung, die
Differentiale, d. i. die Funktionen der Potenzirung abzuleiten, wird
ohnehin noch nicht daran gedacht, daß die Größen, die nach solcher
Ableitung zu behandeln gelehrt wird, selbst Funktionen anderer Größen
seyn sollen.
Noch kann in Ansehung des Weglassens der Konstante bei dem
Differentiiren bemerklich gemacht werden, daß dasselbe hier den Sinn
hat, daß die Konstante für die Bestimmung der Wurzeln im Falle ihrer
Gleichheit gleichgültig ist, als welche Bestimmung durch den
Koefficienten des zweiten Gliedes der Gleichung erschöpft ist. Wie im
angeführten Beispiele von Descartes die Konstante das Quadrat der
Wurzeln selbst ist, also diese aus der Konstante ebenso wie aus den
Koefficienten, bestimmt werden kann; indem sie überhaupt, wie die
Koefficienten, Funktion der Wurzeln der Gleichung ist. In der
gewöhnlichen Darstellung erfolgt das Wegfallen der sogenannten nur
durch + und—mit den übrigen Gliedern verbundenen Konstanten durch den
bloßen Mechanismus des Verfahrens, daß um das Differential eines
zusammengesetzten Ausdrucks zu finden, nur den veränderlichen Größen
ein Zuwachs gegeben, und der hierdurch formirte Ausdruck von dem
ursprünglichen abgezogen wird. Der Sinn der Konstanten und ihres
Weglassens inwiefern sie selbst Funktionen sind und nach dieser
Bestimmung dienen oder nicht, kommt nicht zur Sprache.
Mit dem Weglassen der Konstanten, hängt eine ähnliche Bemerkung
zusammen, die über die Namen von Differentation und Integration,
gemacht werden kann, als früher über den endlichen und unendlichen
Ausdruck gemacht wurde, daß nämlich in ihrer Bestimmung vielmehr das
Gegentheil von dem liegt, was der Ausdruck besagt. Differentiiren
bezeichnet das Setzen von Differenzen; durch das Differentiiren aber
wird eine Gleichung vielmehr auf weniger Dimensionen herabgebracht,
durch das Weglassen der Konstante wird ein Moment der Bestimmtheit
hinweggenommen; wie bemerkt, werden die Wurzeln der veränderlichen
Größe auf eine Gleichheit gesetzt, die Differenz also derselben
aufgehoben. In der Integration hingegen soll die Konstante wieder
hinzugesetzt werden; die Gleichung wird dadurch allerdings, aber in dem
Sinne integrirt, daß die vorher aufgehobene Differenz der Wurzeln
wieder hergestellt, das Gleichgesetzte wieder differentiirt wird. —Der
gewöhnliche Ausdruck trägt dazu bei, die wesentliche Natur der Sache in
Schatten zu setzen und Alles auf den untergeordneten, ja der Hauptsache
fremdartigen Gesichtspunkt Theils der unendlich kleinen Differenz, des
Increments und dergleichen, Theils der bloßen Differenz überhaupt
zwischen der gegebenen und der abgeleiteten Funktion, ohne deren
specifischen, d. i. den qualitativen Unterschied zu bezeichnen, zu
stellen.
Ein anderes Hauptgebiet, in welchem von dem Differentialkalkul Gebrauch
gemacht wird, ist die Mechanik; von den unterschiedenen
Potenzen-Funktionen, die sich bei den elementarischen Gleichungen ihres
Gegenstandes, der Bewegung ergeben, sind deren Bedeutungen bereits
beiläufig erwähnt; ich will dieselben hier direkt aufnehmen. Die
Gleichung, nämlich der mathematische Ausdruck, der
schlechtgleichförmigen Bewegung c = s/t oder s = ct, in welcher die
durch offenen Räume den verflossenen Zeiten nach einer empirischen
Einheit c, der Größe der Geschwindigkeit, proportionirt sind, bietet
für die Differentation keinen Sinn dar; der Koefficient c ist bereits
vollkommen bestimmt und bekannt, und es kann keine weitere
Potenzenentwicklung Statt finden.—Wie s = at[hoch 2], die Gleichung der
Bewegung des Falles, analysirt wird, ist früher schon erinnert; —das
erste Glied der Analyse ds/dt = 2 at wird in die Sprache und resp. in
die Existenz so übersetzt, es solle ein Glied einer Summe (- welche
Vorstellung wir längst entfernt haben), der eine Theil der Bewegung
seyn und zwar solle dieser der Kraft der Trägheit, d. i. einer
schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit so zukommen, daß in den
unendlich-kleinen Zeittheilen die Bewegung gleichförmig, in den
endlichen Zeittheilen d. h. in der That existirenden aber
ungleichförmig sey. Freilich ist fs = 2at; und die Bedeutung voll a und
von t für sich bekannt, so wie daß hiermit die Bestimmung von
gleichförmiger Geschwindigkeit einer Bewegung gesetzt ist; da a =
s/[t[hoch 2]] ist 2 at = 2s/t überhaupt; damit aber weiß man im
geringsten nichts weiter; nur die fälschliche Annahme, daß 2at ein
Theil der Bewegung als einer Summe sey, giebt den fälschlichen Schein
eines physikalischen Satzes. Der Faktor selbst, a, die empirische
Einheit—ein Quantum als solches—wird der Schwere zugeschrieben; wenn
die Kategorie der Kraft der Schwere gebraucht wird, so ist vielmehr zu
sagen, daß eben das Ganze s = at[hoch 2] die Wirkung oder besser das
Gesetz der Schwere ist.—Gleichmäßig ist der aus ds/dt = 2at abgeleitete
Satz, daß wenn die Schwere aufhörte zu wirken, der Körper mit der am
Ende seines Falles erlangten Geschwindigkeit den doppelten Raum von
dem, welchen er durchloffen hat, in einer der Dauer seines Falles
gleichen Zeit zurücklegen würde.—Es liegt hierin auch eine für sich
schiefe Metaphysik; das Ende des Falles, oder das Ende eines
Zeittheils, in welchem der Körper gefallen, ist immer selbst noch ein
Zeittheil; wäre es kein Zeittheil, so wäre Ruhe und damit keine
Geschwindigkeit angenommen, die Geschwindigkeit kann nur nach dem Raume
angesetzt werden, welcher in einem Zeittheil, nicht an seinem Ende,
durchloffen worden ist.—Wenn nun aber vollends in andern physikalischen
Gebieten, wo gar keine Bewegung vorhanden ist, wie z.B. im Verhalten
des Lichts (außer dem, was seine Fortpflanzung im Raume genannt wird)
und Größenbestimmungen an den Farben, eine Anwendung der
Differentialrechnung gemacht wird und die erste Funktion von einer
quadratischen Funktion hier auch Geschwindigkeit genannt wird, so ist
dieß für einen noch unstatthafteren Formalismus der Erdichtung von
Existenz anzusehen. -Bewegung, welche durch die Gleichung s = at[hoch
2] vorgestellt wird, finden wir, sagt Lagrange in der Erfahrung vom
Falle der Körper; die einfachste Bewegung derselben würde die seyn,
deren Gleichung s = ct[hoch 3] wäre, aber die Natur zeige keine
Bewegung dieser Art; wir wüßten nicht was der Koefficient c bedeuten
könnte. Wenn dem wohl so ist, so giebt es dagegen eine Bewegung, deren
Gleichung s[hoch 3] = at[hoch 2] ist,—das kepplerische Gesetz der
Bewegung der Körper des Sonnensystems; was hier die erste abgeleitete
Funktion 2at/[3s [hoch 2]] u.s.f. bedeuten soll, und die fernere
direkte Behandlung dieser Gleichung durch die Differentation, die
Entwicklung der Gesetze und Bestimmungen jener absoluten Bewegung von
diesem Ausgangspunkte aus, müßte dagegen wohl als eine interessante
Aufgabe erscheinen, in welcher die Analysis im würdigsten Glanze sich
zeigen würde.
Für sich bietet so die Anwendung des Differential-Kalkuls auf die
elementarischen Gleichungen der Bewegung kein reelles Interesse dar;
das formelle Interesse kommt von dem allgemeinen Mechanismus des
Kalkuls. Eine andre Bedeutung aber erhält die Zerlegung der Bewegung in
Beziehung auf die Bestimmung ihrer Trajektorie; wenn dieses eine Kurve
ist und ihre Gleichung höhere Potenzen enthält, bedarf es der Übergänge
von geradlinigten Funktionen als Funktionen der Potenzirnng, zu den
Potenzen selbst, und indem jene aus der ursprünglichen Gleichung der
Bewegung, welche den Faktor der Zeit enthält, mit Elimination der Zeit
zu gewinnen sind, ist dieser zugleich auf die niedrigern
Entwicklungsfunktionen herabzusetzen, aus welchen jene Gleichungen
linearer Bestimmungen erhalten werden können. Diese Seite führt auf das
Interesse des andern Theils der Differentialrechnung.
Das Bisherige hat den Zweck gehabt, die einfache specifische Bestimmung
des Differential-Kalkuls herauszuheben und festzustellen, und dieselbe
in einigen der elementarischen Beispiele nachzuweisen. Diese Bestimmung
hat sich ergeben darin zu bestehen, daß aus einer Gleichung von
Potenzenfunktionen der Koefficient des Entwicklungsgliedes, die
sogenannte erste Funktion gefunden, und das Verhältniß, welches diese
ist, in Momenten des konkreten Gegenstands aufgewiesen werde, durch
welche so erhaltene Gleichung zwischen den beiden Verhältnissen diese
Momente selbst bestimmt sind. Es ist ebenso von dem Princip der
Integralrechnung kurz zu betrachten, was sich aus dessen Anwendung, für
die specifische konkrete Bestimmnng derselben ergiebt. Die Ansicht
dieses Kalkuls ist dadurch schon vereinfacht und richtiger bestimmt
worden, daß er nicht mehr als Summationsmethode genommen wird, wie er
im Gegensatz gegen das Differentiiren, wo der Zuwachs als das
wesentliche Ingrediens gilt, genannt wurde, und womit er in
wesentlichem Zusammenhang mit der Form der Reihe erschien.—Die Aufgabe
dieses Kalkuls ist zunächst ebenso die theoretische oder vielmehr
formelle, als die der Differentialrechnung, bekanntlich aber die
umgekehrte von dieser;—es wird hier von einer Funktion ausgegangen, die
als abgeleitete, als der Koefficient des nächsten aus der Entwicklung
einer aber noch unbekannten Gleichung entsprungenen Gliedes betrachtet
wird, und aus ihr soll die ursprüngliche Potenzen-Funktion gefunden
werden; die in der natürlichen Ordnung der Entwicklung als ursprünglich
anzusehende wird hier abgeleitet und die früher als abgeleitet
betrachtete ist hier die gegebene oder überhaupt die anfangende. Das
Formelle dieser Operation scheint nun aber bereits durch den
Differential-Kalkul geleistet zu seyn; indem darin überhaupt der
Übergang und das Verhältniß von der ursprünglichen zu der
Entwicklungsfunktion festgestellt ist. Wenn hierbei Theils schon um die
Funktion, von der auszugehen ist, anzusetzen, Theils aber den Übergang
von ihr zu der ursprünglichen zu bewerkstelligen, nothwendig in vielen
Fällen zu der Form der Reihe die Zuflucht genommen werden muß, so ist
zunächst festzuhalten, daß diese Form als solche mit dem
eigenthümlichen Prinzip des Integrirens unmittelbar nichts zu thun hat.
Der andere Theil nun aber der Aufgabe des Kalkuls erscheint in
Rücksicht auf die formelle Operation die Anwendung derselben. Diese ist
nun selbst die Aufgabe, nämlich die Bedeutung in dem oben angegebenen
Sinne zu kennen, welche die ursprüngliche Funktion von der gegebenen
als ersten Funktion betrachteten eines besondern Gegenstandes hat. An
sich könnte auch diese Lehre bereits in der Differentialrechnung ganz
abgethan zu seyn scheinen; allein es tritt ein weiterer Umstand ein,
der die Sache nicht so einfach seyn läßt. Indem nämlich in diesem
Kalkul sich ergeben, daß durch die erste Funktion der Gleichung einer
Kurve das Verhältniß, welches ein lineares ist, erhalten worden, so
weiß man damit auch, daß die Integration dieses Verhältnisses die
Gleichung der Kurve im Verhältnisse der Abscisse und Ordinate giebt;
oder wenn die Gleichung für die Ebene einer Kurve gegeben wäre, so
würde die Differentialrechnung über die Bedeutung der ersten Funktion
solcher Gleichung bereits gelehrt haben sollen, daß diese Funktion die
Ordinate als Funktion der Abscisse, hiermit die Gleichung der Kurve
darstellte.
Nun kömmt es aber darauf an, welches von den Bestimmungsmomenten des
Gegenstandes in der Gleichung selbst gegeben ist; denn nur von dem
Gegebenen kann die analytische Behandlung den Ausgang nehmen und von da
zu den übrigen Bestimmungen des Gegenstands übergehen. Es ist z. B.
nicht die Gleichung eines Flächenraums der Kurve, noch etwa des durch
ihre Umdrehung entstehenden Körpers, noch auch eines Bogens derselben,
sondern nur das Verhältniß der Abscisse und Ordinate in der Gleichung
der Kurve selbst gegeben. Die Übergänge von jenen Bestimmungen zu
dieser Gleichung selbst können daher nicht schon in der
Differentialrechnung behandelt werden; es wird für die Integralrechnung
aufgespart, diese Verhältnisse zu finden.
Ferner aber ist gezeigt worden, daß die Differentiirung der Gleichung
von mehreren veränderlichen Größen, die Entwicklungspotenz oder
Differential-Koefficienten, nicht als eine Gleichung, sondern nur als
ein Verhältniß giebt; die Aufgabe ist dann für dieß Verhältniß, welches
die abgeleitete Funktion ist, ein zweites in den Momenten des
Gegenstandes anzugeben, das jenem gleich sey. Dagegen ist das Object
der Integralrechnung das Verhältniß selbst der ursprünglichen zu der
abgeleiteten, hier gegeben seyn sollenden Funktion, und die Aufgabe
ist, die Bedeutung der zu findenden ursprünglichen Funktion in dem
Gegenstande der gegebenen ersten Funktion anzugeben, oder vielmehr
indem diese Bedeutung z.B. die Ebene einer Kurve oder die zu
rectificirende, als geradlinigt vorgestellte Kurve u.s.f. schon als das
Problem ausgesprochen ist, zu zeigen, daß solche Bestimmung durch eine
ursprüngliche Funktion gefunden werde und welches das Moment des
Gegenstandes sey, welches hierfür zur Ausgangs- (der abgeleiteten)
Funktion, angenommen werden müsse.
Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als
des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die
Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel,
ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der
Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den
unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse
gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne
integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die
Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes
Elements der Ebene gebe. Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen
des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein
rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich
sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren
Integration den Bogen als einen endlichen giebt.
Dieß Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der
Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise,
daß die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer
gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem
Verhältniß der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten
steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Theil eines
mathematischen Gegenstandes (z.B. einer Kurve) als die abgeleitete
Funktion angenommen werde, welcher andere Theil desselben durch die
entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, daß
wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate
als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche
Funktion der Größenausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen
Area der Kurve ist, daß wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als
abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion
derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens
ausdrückt, u. s. f. daß nun aber diese Verhältnisse, das eine einer
ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen
zweier Theile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine
Proportion bilden, dieß zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die
Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit
demselben gebraucht. Das eigenthümliche Verdienst des Scharfsinns ist,
aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu
haben, daß gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes,
in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion
stehen.
Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt
worden ist, die Funktion der Potenzirung, hier in diesem Kalkul die
gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener
durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht
unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Theil
oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete
Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf
die ursprüngliche den andern Theil oder Bestimmung zu finden, deren
Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt,
sogleich gewisse Theile des Gegenstandes als unendlich klein, in der
Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der
ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die
Differentiirung bestimmen lassen, (—wie für die Rektifikation einer
Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür
solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem
Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird,
in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik
festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Theile bekannt sind, auch
dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden
für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die
Verbindung der Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks gebracht, für
die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abscisse in die
Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als
Produkt von Linien angenommen ist. Der Übergang von solchem sogenannten
Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens
u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen
Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente,
aus denen die verlangte Größe bestehen soll.
Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, daß die Integralrechnung
bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der
Differentialrechnung sey; das reelle Interesse der Integralrechnung
geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältniß der ursprünglichen und
der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.
Lagrange ist ebenso wenig in diesem Theile des Kalkuls darauf
eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener
direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache
beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen
Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich
zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen
Ganzen z.B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der
abgeleiteten Funktion Statt finde. Dieß kann nun aber in diesem Felde
vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen
Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und
Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion
u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf
direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung läßt sich so nur
als die Mitte zwischen einem Größern und Kleinern auffassen. Hiermit
tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und
Minus ein, und das rüstige: Développons, ist an seiner Stelle; aber wie
die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon
ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß
die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze
und kleiner als die andere sey, wird dann z.B. hergeleitet, daß die
Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion
der Area ist.
Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird,
indem er von dem archimedischen Princip ausgeht, hat das Interesse, die
Übersetzung der archimedischen Methode in das Princip der neuern
Analysis einzusehen,
was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die
andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes thun läßt. Die
Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen nothwendig analog; das
archimedische Princip, daß der Bogen einer Kurve größer ist, als seine
Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens,
gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Punkten und ihrem
Durchschnittspunkt enthalten sind, giebt keine direkte Gleichung. Die
Übertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne
analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine
einfache Grundgleichung sey, während jene Form nur die Forderung
aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal
bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder
immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer
engern Grenzen giebt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen
wird sogleich die Gleichung dz[hoch 2] = dx[hoch 2] + dy[hoch 2]
angesetzt. Die lagrangesche Exposition ausgehend von der angegebenen
Grundlage zeigt hingegen auf, daß die Größe des Bogens die
ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das
eigenthümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer
abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.
Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der
kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung
vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dieß so oft als eine Autorität
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