Wissenschaft der Logik — Band 1 - 23

  werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen
  abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die
  specifische Bestimmung der Differentialrechnung. —Was alsdenn die
  sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, daß sie
  zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für
  die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums,
  als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der
  Konstanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente
  für die Natur der besonderen Funktion, welche diese Größen sind.
  Umgekehrt sind aber auch die Konstanten selbst Funktionen; insofern
  z.B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu seyn,
  so ist dieser ihr Sinn dieß, daß sie die Funktion y[hoch 2]/x ist; wie
  in der Entwickelung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der
  Koefficient des ersten Entwickelungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln,
  der des zweiten, die Summe der Produkte derselben zu zwei und zwei
  u.s.f. also diese Konstanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln
  sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel
  bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser
  behandelt. Jene Koefficienten werden wir dann weiter in einer anderen
  Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es
  ist, worauf das ganze Interesse geht.
  Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen
  Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den
  unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen,
  daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern
  Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob
  sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre
  specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß
  sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind.
  Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ
  determinirt, damit kontinuirlich, und diese Kontinuität, die für sich
  wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich
  in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat
  hier ihren determinirten Sinn und zwar allein in dem
  Potenzenverhältnisse, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten
  hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des
  Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen
  andern Formalismus die Bemerkung zu machen, daß die erste Potenz nur
  Potenz im Verhältniß zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein
  unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y
  = ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen
  Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax
  + b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a =
  y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten
  Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange
  dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten
  Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher,
  schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der
  Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher
  Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein
  in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von
  der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden
  solle, ausgeht, so kann Freilich auch eine solche, die nur eine
  Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun
  hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch
  entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll,
  so zeigt sich das Leere der Operation, daß, wie bemerkt, die Gleichung
  vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als
  für die veränderlichen Größen selbst.
  ß) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung
  bestimmt, und es ist nun anzugeben, auf welches Interesse sich die
  Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur
  bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange'schen
  Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die
  Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten
  heterogenen Bestimmungen zu entfernen.—Als die Grundlage der Behandlung
  der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, daß die Potenz innerhalb
  ihrer selbst als ein Verhältniß, als ein System von
  Verhältnißbestimmungen, gefaßt wird. Die Potenz ist oben als die Zahl
  angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung
  durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch
  ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat,
  formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen.
  Die Potenz nun, da sie als Zahl—wenn man den Ausdruck Größe als den
  allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl,—eine Menge
  ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine
  beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere
  Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur daß sie
  zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe
  von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der
  Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch
  die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefaßt, und beliebig nach
  mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das
  gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die
  Wurzel seyn soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte
  Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung
  der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher
  etwas Leeres.[12] Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit
  qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzirung
  der als Summe angenommenen Wurzel ergiebt, welche Bestimmtheit allein
  in der Veränderung, die das Potenziren ist, liegt. Diese Glieder sind
  somit ganz Funktionen der Potenzirung und der Potenz. Jene Darstellung
  nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche
  Funktionen der Potenzirung sind, alsdenn das Interesse, die Form
  solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher
  Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form
  abhängen muß,—dieß macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen
  aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu
  unterscheiden, nämlich das Verhältniß der zu Grunde liegenden Größe
  selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Komplex d. i. hier eine
  Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, —zu den Funktionen ihrer
  Potenzirung. Dieß Verhältniß, ganz abstrahirt von dem vorhin genannten
  Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich
  als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der
  wirklichen Wissenschaft ergiebt.
   [12] Es gehört nur zum Formalismus derjenigen Allgemeinheit, auf
   welche die Analysis nothwendigen Anspruch macht, wenn statt (a +
   b)[hoch n] für die Potenzenentwicklung zu nehmen, (a + b + c +
   d…)[hoch n] gesagt wird, wie dieß auch in vielen andern Fällen gethan
   wird; es ist solche Form, so zu sagen, nur für eine Koketterie des
   Scheins der Allgemeinheit zu halten; in dem Binomium ist die Sache
   erschöpft; es wird durch dessen Entwickelung das Gesetz gefunden, und
   das Gesetz ist die wahrhafte Allgemeinheit, nicht die äußerliche nur
   leere Wiederholung des Gesetzes, welche allein es ist, die durch jenes
   a + b + c + d… hervorgebracht wird.
  
  Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen,
  oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich
  gesagt, daß die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz
  eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar
  als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzirung
  sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach
  bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; x[hoch n] = (y + z)[hoch
  n] = (y + ny[hoch n-1] z +….) Diese Darstellung ging für die
  Entwickelung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer
  Potenzirungsfunktionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch
  hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende
  Reihe zu thun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen.
  Die Beziehung als solche der Größen ist das was einer Seits übrig
  bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahirt wird,
  und was anderer Seits für das Finden der EntwicklungsFunktionen der
  Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin
  bestimmt, daß hier der Gegenstand eine Gleichung, y[hoch m] = ax[hoch
  n] auch schon ein Komplex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der
  eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Komplex ist jede
  dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der
  Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst,—als Funktion der
  andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu seyn,
  giebt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz
  unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch
  diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen;
  es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die
  veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so
  daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben
  sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander
  verglichen werden,—welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes
  weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst
  für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine
  Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein
  Verhältniß ihrer Entwickelungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck,
  Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon
  anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt
  worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimungen
  an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde,
  ausgegangen worden, so diente dieß nur Theils zur Angabe von welcher
  Art solche Funktionen seyen, Theils liegt darin die Weise sie zu
  finden.
  Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen
  Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt
  wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun
  die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört,
  explicirt wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur
  eine Form seyn, deren ganzer Werth ist, zur Entwickelung behülflich zu
  seyn; was man eingestandenermaßen, am bestimmtesten von Euler und
  Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will,
  sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen
  Größen, die sogenannten Koefficienten zwar des Zuwachses und der
  Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die
  unterschiedenen Koefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt
  werden, daß indem nur um der Entwickelung willen ein Zuwachs angenommen
  ist, der ohne Quantum sey, es am geschicktesten gewesen wäre, (das
  Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwickelung immer nur als
  Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, daß
  keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs
  gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer
  quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier
  unnützen Scheine von Allgemeinheit behafftet, immer das Aussehen und
  die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche
  Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet
  wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen
  entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als
  indices ebenso gut dem Eins angefügt werden. Aber es muß ohnehin von
  der Reihe und von der Bestimmung der Koefficienten nach der Stelle, die
  sie in der Reihe haben, abstrahirt werden, das Verhältniß zwischen
  allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der
  ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als
  die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche
  Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe,
  sondern ganz allein auf die sich aus der Entwickelung ergebende
  Potenzenbestimmung in ihrem Verhältniß zu der für sie unmittelbaren
  Größe. Anstatt also jene als den Koefficienten des ersten Gliedes der
  Entwickelung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf
  die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz
  als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören,
  wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin
  gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen,
  wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung
  als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwickelung genommen wird.
  Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Theile der
  Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die
  Potenzen-Entwickelung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage,
  was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine
  Anwendung und Gebrauch hat, oder in der That, für welchen Zweck solche
  Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an
  konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische
  zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr großes Interesse
  erhalten.
  Über die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der
  Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen,
  vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst
  Folgendes. Die Entwickelung der Potenzengrößen, wodurch sich die
  Funktionen ihrer Potenzirung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung
  abstrahirt, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die
  nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet
  also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein
  solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir
  nun auf die Raumbestimmtheit reflektiren, so finden wir, daß sie die
  drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten
  Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die
  konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den
  totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in
  Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen
  genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und
  dieselbe als Quadrat, und den Kubus. Die gerade Linie hat ein
  empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die
  Potenzenbestimmung ein; nähere Modificationen, z.B. daß dieß gleich
  auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir, insofern es zunächst
  um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu thun ist, unerörtert lassen.
  Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren
  Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem
  z.B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f.
  oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. —Die Bewegung ferner, als an
  der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu
  gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den
  verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer
  gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig
  beschleunigten und gleichförmig retardirten, —in sich zurückkehrenden
  Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem
  Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt
  werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen
  Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der
  Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus
  einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation
  gleichfalls das Übergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern
  oder medrigern herbei.—Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für
  den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.
  Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in
  ihren Anwendungen präsentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das
  Bewußtseyn über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt
  finden kann, und über das eigenthümliche Bedürfniß und die Bedingung
  dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete
  selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Theilen der Gegenstände
  der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältniß statt finde, als
  durch den Differentialkalkul eigenthümlich gesetzt wird. Es muß gleich
  vorläufig bemerkt werden, daß hierbei zweierlei Verhältnisse zu
  beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie
  nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen
  betrachtet, giebt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht
  mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältniß ist; dieses Verhältniß ist
  der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch
  ist zweitens das Verhältniß vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung
  (der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem
  Abgeleiteten). Dieß zweite Verhältniß haben wir hier zunächst bei Seite
  zu lassen; es wird sich als der eigenthüniliche Gegenstand der
  Integralrechnung zeigen.
  Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der
  sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das
  Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven
  vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind.
  Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der
  Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der
  Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten
  zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente,
  Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den
  Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile
  diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden
  Linien. Der Übergang von der Grundgleichung, welche die
  Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun
  den angegebenen Übergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche
  eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und
  zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der
  Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung
  der Curve ist es, um dessen Finden es sich handelt.
  Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu
  bemerken, daß die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz
  empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der
  völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge
  mich hierüber mit der Anführung Barrow's, des Lehrers Newtons. In
  seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach
  der Methode der Untheilbaren behandelt, die sich zunächst von dem
  Eigenthümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, giebt er auch,
  "weil seine Freunde in ihn gedrungen," (lect. X.) sein Verfahren, die
  Tangente zu bestimmen, an. Man muß bei ihm selbst nachlesen, wie diese
  Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie
  das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist,—in demselben
  Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri
  oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten
  vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die
  man nachher die Inkremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve
  genannt hat, und giebt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die
  Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwickelung der
  Gleichungen, als Potenzen jener Inkremente oder Produkte zum Vorschein
  kommen, ( etenim isti termini nihilum valebunt ); ebenso seyen die
  Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen
  enthalten, wegzuwerfen (das nachherige Abziehen der ursprünglichen
  Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das
  Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der
  Abscisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden
  erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben;—die
  letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der
  gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der
  Proportionalität der Inkremente der Ordinate und Abscisse mit der
  Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in
  ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu
  bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf
  Ähnliches hinaus,—die Methode, die größten und kleinsten Werthe zu
  finden, von der der Letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen
  und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten,
  sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen
  auch ein Geheimniß zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in
  einer Rücksicht nöthig war, aus demselben Grunde, als es leicht
  war,—nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel,
  keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Principien Abgeleitetes,
  gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner
  Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem
  Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form
  und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit
  zugleich das Bedürfniß gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß
  äußerlicher Regeln zu reißen, und demselben die erforderliche
  Berechtigung zu verschaffen gesucht.
  Analysiren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser.
  Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der
  veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten
  Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Werth der Glieder der
  Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es
  ist nur ein Verhältniß entstanden zwischen der ersten Funktion der
  einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px
  = y[hoch 2] hat man p : 2y oder statt 2 ax—x[hoch 2] = y[hoch 2] hat
  man a—x : y, was nachher als das Verhältniß dy/dx bezeichnet zu werden
  pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Curve, dieß Verhältniß, das
  ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen
  Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse
  Linien in Proportion sind; p : 2y oder a—x : y sind selbst Verhältnisse
  aus geraden Linien der Kurve, den Koordinaten und den Parameters; aber
  damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve
  vorkommenden Linien zu wissen, daß ihnen jenes Verhältniß zukommt, die
  Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden.—Es ist also zweitens die
  Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien
  sind, welche in solchem Verhältnisse stehen?—dieß aber ist es, was
  schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes
  Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten
  die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern
  Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung
  der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird,
  von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist,
  welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es
  zu thun ist. Theils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch
  gefaßt und gemacht worden,—die Differentation,—Theils aber sind die
  imaginären Inkremente der Koordinaten und das imaginäre hieraus und
  einem ebensolchen Inkremente der Tangente gebildete, charakteristische
  Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die
  Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem
  Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch
  nur aus der alten Bekanntschaft Aufgenommenes, sondern als ein
  Erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist
  sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von
  Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der
  Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.
  Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den
  ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die
  Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die
  beiden Übergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu
  trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen.
  Der eine Theil dieser Auflösung,—indem wir für die nähere Angabe des
  Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente
  zu finden, bleiben,—der theoretische oder allgemeine Theil, nämlich das
  Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Kurvengleichung, wird für
  sich regulirt; derselbe giebt ein lineares Verhältniß, also von geraden
  Linien, die in dem Systeme der Kurvenbestimmung vorkommen. Der andere
  Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve,
  welche in jenem Verhältnisse stehen. Dieß wird nun auf die direkte
  Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i.
  ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen,
  Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy
  und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich
  unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und
  Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein
  ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie
  auch die Bestimmmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dieß ist,
  um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen
  Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der
  Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der
  vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist.—Die Subtangente
  wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten
  die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat
  als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für
  die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit
  hinzugesetzt);—die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den
  Koefficienten von q, der die respective erste Funktion der Gleichung
  ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als,
  wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als
  Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste
  Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die
  Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p
  der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben
  genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente
  angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der
  Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden
  Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade
  Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch
  ausgedrückt, daß indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx =
  Fq angenommen wird, auch f'x = F'q. Daß nun die als Tangente applicirte
  gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion
  determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also
  Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse
  und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der
  Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte
  Increment herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe
  eingeführt wird, und die Entwickelung der Funktion nach demselben, muß
  von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der