Wissenschaft der Logik — Band 1 - 23

werden, insofern das in sie gelegt werden soll, damit es dann aus ihnen
abgeleitet werden könne, was nicht in ihnen liegt, nämlich die
specifische Bestimmung der Differentialrechnung. —Was alsdenn die
sogenannte Konstante betrifft, so kann über sie bemerkt werden, daß sie
zunächst als eine gleichgültige empirische Größe ist, bestimmend für
die veränderlichen Größen bloß in Ansehung ihres empirischen Quantums,
als Grenze ihres Minimums und Maximums; die Art der Verbindung aber der
Konstanten mit den veränderlichen Größen ist selbst eines der Momente
für die Natur der besonderen Funktion, welche diese Größen sind.
Umgekehrt sind aber auch die Konstanten selbst Funktionen; insofern
z.B. eine gerade Linie den Sinn hat, Parameter einer Parabel zu seyn,
so ist dieser ihr Sinn dieß, daß sie die Funktion y[hoch 2]/x ist; wie
in der Entwickelung des Binomiums überhaupt, die Konstante, welche der
Koefficient des ersten Entwickelungsgliedes ist, die Summe der Wurzeln,
der des zweiten, die Summe der Produkte derselben zu zwei und zwei
u.s.f. also diese Konstanten hier überhaupt Funktionen der Wurzeln
sind; wo in der Integralrechnung die Konstante aus der gegebenen Formel
bestimmt wird, wird sie insofern als eine Funktion von dieser
behandelt. Jene Koefficienten werden wir dann weiter in einer anderen
Bestimmung als Funktionen betrachten, deren Bedeutung im Konkreten es
ist, worauf das ganze Interesse geht.
Das Eigenthümliche nun aber, wodurch die Betrachtung der veränderlichen
Größen sich in der Differentialrechnung von ihrer Beschaffenheit in den
unbestimmten Aufgaben unterscheidet, ist in das Angegebene zu setzen,
daß wenigstens eine jener Größen oder auch alle sich in einer höhern
Potenz als die erste befinde, wobei wieder gleichgültig ist, ob
sämmtliche von derselben höhern oder von ungleichen Potenzen sind; ihre
specifische Unbestimmtheit, die sie hier haben, liegt allein darin, daß
sie in solchem Potenzenverhältnisse Funktionen von einander sind.
Dadurch ist die Veränderung der veränderlichen Größen qualitativ
determinirt, damit kontinuirlich, und diese Kontinuität, die für sich
wieder nur die formelle Kategorie überhaupt einer Identität, einer sich
in der Veränderung erhaltenden, gleichbleibenden Bestimmtheit ist, hat
hier ihren determinirten Sinn und zwar allein in dem
Potenzenverhältnisse, als welches kein Quantum zu seinem Exponenten
hat, und die nicht quantitative, bleibende Bestimmtheit des
Verhältnisses der veränderlichen Größen ausmacht. Daher ist gegen einen
andern Formalismus die Bemerkung zu machen, daß die erste Potenz nur
Potenz im Verhältniß zu höhern ist; für sich ist x nur irgend ein
unbestimmtes Quantum. So hat es keinen Sinn, für sich die Gleichungen y
= ax + b, der geraden Linie oder s = ct die der schlechtgleichförmigen
Geschwindigkeit zu differentiren; wenn aus y = ax, oder auch aus y = ax
+ b, a = dy/dx, oder ds/dt = c aus s = ct wird, so ist ebenso sehr a =
y/x, die Bestimmung der Tangente oder s/t = c. die der schlechten
Geschwindigkeit. Letztere wird als dy/dx exponirt im Zusammenhange
dessen, was für die Entwickelung der gleichförmig beschleunigten
Bewegung ausgegeben wird; aber daß ein Moment von einfacher,
schlechtgleichförmiger, d. i. nicht durch die höhere Potenz eines der
Momente der Bewegung bestimmter Geschwindigkeit, im Systeme solcher
Bewegung vorkomme, ist, wie früher bemerkt, selbst eine leere, allein
in der Routine der Methode gegründete Annahme. Indem die Methode von
der Vorstellung des Zuwachses, den die veränderliche Größe erleiden
solle, ausgeht, so kann Freilich auch eine solche, die nur eine
Funktion von erster Potenz ist, auch einen Zuwachs erleiden; wenn nun
hierauf, um das Differential zu finden, der Unterschied der hierdurch
entstandenen zweiten Gleichung von der gegebenen genommen werden soll,
so zeigt sich das Leere der Operation, daß, wie bemerkt, die Gleichung
vor und nach derselben, für die sogenannten Zuwächse dieselbe ist als
für die veränderlichen Größen selbst.
ß) Durch das Gesagte ist die Natur der zu behandelnden Gleichung
bestimmt, und es ist nun anzugeben, auf welches Interesse sich die
Behandlung derselben gerichtet findet. Diese Betrachtung kann nur
bekannte Resultate, wie sie der Form nach in der Lagrange'schen
Auffassung insbesondere vorhanden sind, geben; aber ich habe die
Exposition so ganz elementarisch angestellt, um die damit vermischten
heterogenen Bestimmungen zu entfernen.—Als die Grundlage der Behandlung
der Gleichung von angegebener Art zeigt sich, daß die Potenz innerhalb
ihrer selbst als ein Verhältniß, als ein System von
Verhältnißbestimmungen, gefaßt wird. Die Potenz ist oben als die Zahl
angegeben worden, insofern sie dazu gekommen ist, daß ihre Veränderung
durch sie selbst bestimmt, ihre Momente, Einheit und Anzahl identisch
ist, wie früher nachgewiesen, vollkommen zunächst im Quadrat,
formeller, was hier keinen Unterschied macht, in den höhern Potenzen.
Die Potenz nun, da sie als Zahl—wenn man den Ausdruck Größe als den
allgemeinern vorzieht, so ist sie an sich immer die Zahl,—eine Menge
ist, auch als Summe dargestellt, kann zunächst innerhalb ihrer in eine
beliebige Menge von Zahlen zerlegt werden, die ohne alle weitere
Bestimmung gegen einander und gegen ihre Summe sind, als nur daß sie
zusammen dieser gleich sind. Aber die Potenz kann auch in eine Summe
von solchen Unterschieden discernirt werden, die durch die Form der
Potenz bestimmt sind. Wird die Potenz als Summe genommen, so ist auch
die Grundzahl derselben, die Wurzel als Summe gefaßt, und beliebig nach
mannigfaltiger Zerlegung, welche Mannigfaltigkeit aber das
gleichgültige empirisch-Quantitative ist. Die Summe als welche die
Wurzel seyn soll, auf ihre einfache Bestimmtheit, d. i. ihre wahrhafte
Allgemeinheit zurückgeführt, ist das Binomium; alle weitere Vermehrung
der Glieder ist eine bloße Wiederholung derselben Bestimmung und daher
etwas Leeres.[12] Worauf es ankommt, ist allein die, hiermit
qualitative Bestimmtheit der Glieder, welche sich durch die Potenzirung
der als Summe angenommenen Wurzel ergiebt, welche Bestimmtheit allein
in der Veränderung, die das Potenziren ist, liegt. Diese Glieder sind
somit ganz Funktionen der Potenzirung und der Potenz. Jene Darstellung
nun der Zahl, als Summe einer Menge von solchen Gliedern, welche
Funktionen der Potenzirung sind, alsdenn das Interesse, die Form
solcher Funktionen, und ferner diese Summe aus der Menge solcher
Glieder, zu finden, insofern dieses Finden allein von jener Form
abhängen muß,—dieß macht bekanntlich die besondere Lehre von den Reihen
aus. Aber hierbei haben wir wesentlich das fernere Interesse zu
unterscheiden, nämlich das Verhältniß der zu Grunde liegenden Größe
selbst, deren Bestimmtheit, insofern sie ein Komplex d. i. hier eine
Gleichung, ist, eine Potenz in sich schließt, —zu den Funktionen ihrer
Potenzirung. Dieß Verhältniß, ganz abstrahirt von dem vorhin genannten
Interesse der Summe wird sich als der Gesichtspunkt zeigen, der sich
als der einzige, den die Differentialrechnung sich vorsetzt, aus der
wirklichen Wissenschaft ergiebt.
[12] Es gehört nur zum Formalismus derjenigen Allgemeinheit, auf
welche die Analysis nothwendigen Anspruch macht, wenn statt (a +
b)[hoch n] für die Potenzenentwicklung zu nehmen, (a + b + c +
d…)[hoch n] gesagt wird, wie dieß auch in vielen andern Fällen gethan
wird; es ist solche Form, so zu sagen, nur für eine Koketterie des
Scheins der Allgemeinheit zu halten; in dem Binomium ist die Sache
erschöpft; es wird durch dessen Entwickelung das Gesetz gefunden, und
das Gesetz ist die wahrhafte Allgemeinheit, nicht die äußerliche nur
leere Wiederholung des Gesetzes, welche allein es ist, die durch jenes
a + b + c + d… hervorgebracht wird.

Es ist jedoch vorher noch eine Bestimmung zu dem Gesagten hinzuzufügen,
oder vielmehr eine, die darin liegt, zu entfernen. Es wurde nämlich
gesagt, daß die veränderliche Größe, in deren Bestimmung die Potenz
eintritt, angesehen werde, innerhalb ihrer selbst als Summe und zwar
als ein System von Gliedern, insofern diese Funktionen der Potenzirung
sind, womit auch die Wurzel als eine Summe, und in der einfach
bestimmten Form als Binomium betrachtet werde; x[hoch n] = (y + z)[hoch
n] = (y + ny[hoch n-1] z +….) Diese Darstellung ging für die
Entwickelung der Potenz, d. i. für das Erlangen ihrer
Potenzirungsfunktionen, von der Summe als solcher aus; es ist jedoch
hier nicht um eine Summe als solche noch um die daraus entspringende
Reihe zu thun, sondern von der Summe ist nur die Beziehung aufzunehmen.
Die Beziehung als solche der Größen ist das was einer Seits übrig
bleibt, nachdem von dem plus einer Summa als solcher abstrahirt wird,
und was anderer Seits für das Finden der EntwicklungsFunktionen der
Potenz erforderlich ist. Solche Beziehung aber ist schon darin
bestimmt, daß hier der Gegenstand eine Gleichung, y[hoch m] = ax[hoch
n] auch schon ein Komplex von mehrern (veränderlichen) Größen ist, der
eine Potenzenbestimmung derselben enthält. In diesem Komplex ist jede
dieser Größen schlechthin als in der Beziehung auf die andere mit der
Bedeutung, könnte man sagen, eines plus an ihr selbst,—als Funktion der
andern Größen gesetzt; ihr Charakter, Funktionen von einander zu seyn,
giebt ihnen diese Bestimmung des plus, eben damit aber eines ganz
unbestimmten, nicht eines Zuwachses, Inkrements und dergleichen. Doch
diesen abstrakten Gesichtspunkt konnten wir auch auf der Seite lassen;
es kann ganz einfach dabei stehen geblieben werden, daß nachdem die
veränderlichen Größen in der Gleichung als Funktionen von einander, so
daß diese Bestimmtheit ein Verhältniß von Potenzen enthält, gegeben
sind, nun auch die Funktionen der Potenzirung einer jeden mit einander
verglichen werden,—welche zweiten Funktionen durch gar nichts Anderes
weiter als durch die Potenzirung selbst bestimmt sind. Es kann zunächst
für ein Belieben oder eine Möglichkeit ausgegeben werden, eine
Gleichung von den Potenzen ihrer veränderlichen Größen auf ein
Verhältniß ihrer Entwickelungsfunktionen zu setzen; ein weiterer Zweck,
Nutzen, Gebrauch hat erst das Dienliche solcher Umgestaltung davon
anzugeben; durch ihre Nützlichkeit allein ist jene Umstellung veranlaßt
worden. Wenn vorhin von der Darstellung dieser Potenzirungsbestimungen
an einer Größe, die als Summe in sich different genommen werde,
ausgegangen worden, so diente dieß nur Theils zur Angabe von welcher
Art solche Funktionen seyen, Theils liegt darin die Weise sie zu
finden.
Wir befinden uns hiermit bei der gewöhnlichen analytischen
Entwickelung, die für den Zweck der Differentialrechnung so gefaßt
wird, daß der veränderlichen Größe ein Zuwachs, dx, i gegeben und nun
die Potenz des Binomiums durch die Gliederreihe, die ihm angehört,
explicirt wird. Der sogenannte Zuwachs aber soll nicht ein Quantum, nur
eine Form seyn, deren ganzer Werth ist, zur Entwickelung behülflich zu
seyn; was man eingestandenermaßen, am bestimmtesten von Euler und
Lagrange, und in der früher erwähnten Vorstellung der Grenze, will,
sind nur die sich ergebende Potenzenbestimmungen der veränderlichen
Größen, die sogenannten Koefficienten zwar des Zuwachses und der
Potenzen desselben, nach denen die Reihe sich ordnet und zu denen die
unterschiedenen Koefficienten gehören. Es kann hierzu etwa bemerkt
werden, daß indem nur um der Entwickelung willen ein Zuwachs angenommen
ist, der ohne Quantum sey, es am geschicktesten gewesen wäre, (das
Eins) dafür zu nehmen, indem derselbe in der Entwickelung immer nur als
Faktor vorkommt, womit eben der Faktor Eins den Zweck erfüllt, daß
keine quantitative Bestimmtheit und Veränderung durch den Zuwachs
gesetzt werden solle; dagegen dx mit der falschen Vorstellung von einer
quantitativen Differenz, und andere Zeichen, wie i, mit dem hier
unnützen Scheine von Allgemeinheit behafftet, immer das Aussehen und
die Prätension von einem Quantum und dessen Potenzen haben; welche
Prätension dann die Mühe herbeibringt, sie dessenungeachtet
wegzubringen und wegzulassen. Um die Form einer nach Potenzen
entwickelten Reihe zu behalten, könnten die Exponentenbezeichnungen als
indices ebenso gut dem Eins angefügt werden. Aber es muß ohnehin von
der Reihe und von der Bestimmung der Koefficienten nach der Stelle, die
sie in der Reihe haben, abstrahirt werden, das Verhältniß zwischen
allen ist dasselbe; die zweite Funktion wird ganz ebenso aus der
ersten, als diese aus der ursprünglichen abgeleitet, und für die als
die zweite gezählte ist die erste abgeleitete wieder ursprüngliche
Funktion. Wesentlich aber geht das Interesse nicht auf die Reihe,
sondern ganz allein auf die sich aus der Entwickelung ergebende
Potenzenbestimmung in ihrem Verhältniß zu der für sie unmittelbaren
Größe. Anstatt also jene als den Koefficienten des ersten Gliedes der
Entwickelung zu bestimmen, da ein Glied als das erste in Beziehung auf
die andern in der Reihe folgenden bezeichnet wird, eine solche Potenz
als eines Zuwachses aber, wie die Reihe selbst hierher nicht gehören,
wäre der bloße Ausdruck abgeleitete Potenzenfunktion oder wie vorhin
gesagt wurde, eine Funktion des Potenzirens der Größe vorzuziehen,
wobei als bekannt vorausgesetzt wird, auf welche Weise die Ableitung
als innerhalb einer Potenz eingeschlossene Entwickelung genommen wird.
Wenn nun der eigentliche mathematische Anfang in diesem Theile der
Analytik nichts weiter ist, als das Finden der durch die
Potenzen-Entwickelung bestimmten Funktion, so ist die weitere Frage,
was mit dem damit erhaltenen Verhältnisse anzufangen ist, wo es eine
Anwendung und Gebrauch hat, oder in der That, für welchen Zweck solche
Funktionen gesucht werden. Durch das Finden von Verhältnissen, an
konkreten Gegenständen, welche sich auf jene abstrakte analytische
zurückführen lassen, hat die Differentialrechnung ihr großes Interesse
erhalten.
Über die Anwendbarkeit aber ergiebt sich zunächst aus der Natur der
Sache, ohne noch aus den Fällen der Anwendung selbst zu schließen,
vermöge der aufgezeigten Gestalt der Potenzenmomente, von selbst
Folgendes. Die Entwickelung der Potenzengrößen, wodurch sich die
Funktionen ihrer Potenzirung ergeben, enthält, von näherer Bestimmung
abstrahirt, zunächst überhaupt die Herabsetzung der Größe auf die
nächst niedrigere Potenz. Die Anwendbarkeit dieser Operation findet
also bei solchen Gegenständen statt, bei welchen gleichfalls ein
solcher Unterschied von Potenzenbestimmungen vorhanden ist. Wenn wir
nun auf die Raumbestimmtheit reflektiren, so finden wir, daß sie die
drei Dimensionen enthält, die wir, um sie von den abstrakten
Unterschieden der Höhe, Länge und Breite zu unterscheiden, als die
konkreten bezeichnen können, nämlich die Linie, die Fläche und den
totalen Raum; und indem sie in ihren einfachsten Formen und in
Beziehung auf Selbstbestimmung und damit auf analytische Dimensionen
genommen werden, haben wir die gerade Linie, die ebene Fläche und
dieselbe als Quadrat, und den Kubus. Die gerade Linie hat ein
empirisches Quantum, aber mit der Ebene tritt das Qualitative, die
Potenzenbestimmung ein; nähere Modificationen, z.B. daß dieß gleich
auch mit den ebenen Kurven geschieht, können wir, insofern es zunächst
um den Unterschied bloß im Allgemeinen zu thun ist, unerörtert lassen.
Hiermit entsteht auch das Bedürfniß, von einer höheren
Potenzenbestimmung zu einer niedrigern und umgekehrt überzugehen, indem
z.B. lineare Bestimmungen aus gegebenen Gleichungen der Fläche u.s.f.
oder umgekehrt abgeleitet werden sollen. —Die Bewegung ferner, als an
der das Größenverhältniß des durchloffenen Raumes und der dazu
gehörigen verflossenen Zeit zu betrachten ist, zeigt sich in den
verschiedenen Bestimmungen einer schlechtgleichförmigen, einer
gleichförmig beschleunigten, einer abwechselnd gleichförmig
beschleunigten und gleichförmig retardirten, —in sich zurückkehrenden
Bewegung; indem diese unterschiedenen Arten der Bewegung nach dem
Größenverhältnisse ihrer Momente, des Raums und der Zeit, ausgedrückt
werden, ergeben sich für sie Gleichungen aus unterschiedenen
Potenzenbestimmungen, und insofern es Bedürfniß seyn kann, eine Art der
Bewegung oder auch der Raumgrößen, an welche eine Art gebunden ist, aus
einer anderen Art derselben zu bestimmen, führt die Operation
gleichfalls das Übergehen von einer Potenzenfunktion zu einer höhern
oder medrigern herbei.—Die Beispiele dieser zwei Gegenstände mögen für
den Zweck, zu dem sie angeführt sind, genügen.
Der Anschein von Zufälligkeit, welchen die Differentialrechnung in
ihren Anwendungen präsentirt, würde schon vereinfacht werden, durch das
Bewußtseyn über die Natur der Gebiete, in welchem die Anwendung statt
finden kann, und über das eigenthümliche Bedürfniß und die Bedingung
dieser Anwendung. Nun aber kommt es weiter innerhalb dieser Gebiete
selbst darauf an, zu wissen, zwischen welchen Theilen der Gegenstände
der mathematischen Aufgabe ein solches Verhältniß statt finde, als
durch den Differentialkalkul eigenthümlich gesetzt wird. Es muß gleich
vorläufig bemerkt werden, daß hierbei zweierlei Verhältnisse zu
beachten sind. Die Operation des Depotenzirens einer Gleichung, sie
nach den abgeleiteten Funktionen ihrer veränderlichen Größen
betrachtet, giebt ein Resultat, welches an ihm selbst wahrhaft nicht
mehr eine Gleichung, sondern ein Verhältniß ist; dieses Verhältniß ist
der Gegenstand der eigentlichen Differentialrechnung. Eben damit auch
ist zweitens das Verhältniß vorhanden von der höhern Potenzenbestimmung
(der ursprünglichen Gleichung) selbst zu der niedrigern (dem
Abgeleiteten). Dieß zweite Verhältniß haben wir hier zunächst bei Seite
zu lassen; es wird sich als der eigenthüniliche Gegenstand der
Integralrechnung zeigen.
Betrachten wir zunächst das erste Verhältniß, und nehmen zu der aus der
sogenannten Anwendung zu entnehmenden Bestimmung des Moments, worin das
Interesse der Operation liegt, das einfachste Beispiel an den Kurven
vor, die durch eine Gleichung der zweiten Potenz bestimmt sind.
Bekanntlich ist unmittelbar durch die Gleichung das Verhältniß der
Koordinaten gegeben in einer Potenzenbestimmung. Folgen von der
Grundbestimmung sind die Bestimmungen der mit den Koordinaten
zusammenhängenden anderen geraden Linien, der Tangente, Subtangente,
Normale u.s.f. Die Gleichungen aber zwischen diesen Linien und den
Koordinaten sind lineare Gleichungen; die Ganzen, als deren Theile
diese Linien bestimmt sind, sind rechtwinklichte Dreiecke von geraden
Linien. Der Übergang von der Grundgleichung, welche die
Potenzenbestimmung enthält, zu jenen linearen Gleichungen enthält nun
den angegebenen Übergang von der ursprünglichen Funktion, d. i. welche
eine Gleichung ist, zu der abgeleiteten, welche ein Verhältniß ist, und
zwar zwischen gewissen in der Kurve enthaltenen Linien. Der
Zusammenhang zwischen dem Verhältnisse dieser Linien und der Gleichung
der Curve ist es, um dessen Finden es sich handelt.
Es ist nicht ohne Interesse, von dem Historischen hierüber so viel zu
bemerken, daß die ersten Entdecker ihren Fund nur auf eine ganz
empirische Weise anzugeben wissen, ohne eine Rechenschaft von der
völlig äußerlich gebliebenen Operation geben zu können. Ich begnüge
mich hierüber mit der Anführung Barrow's, des Lehrers Newtons. In
seinen lect. Opt. et Geom., worin er Probleme der höhern Geometrie nach
der Methode der Untheilbaren behandelt, die sich zunächst von dem
Eigenthümlichen der Differentialrechnung unterscheidet, giebt er auch,
"weil seine Freunde in ihn gedrungen," (lect. X.) sein Verfahren, die
Tangente zu bestimmen, an. Man muß bei ihm selbst nachlesen, wie diese
Angabe beschaffen ist, um sich eine gehörige Vorstellung zu machen, wie
das Verfahren ganz als äußerliche Regel angegeben ist,—in demselben
Style, wie vormals in den arithmetischen Schulbüchern die Regel de tri
oder noch besser die sogenannte Neunerprobe der Rechnungsarten
vorgetragen worden ist. Er macht die Verzeichnung der Linienchen, die
man nachher die Inkremente im charakteristischen Dreieck einer Kurve
genannt hat, und giebt nun die Vorschrift als eine bloße Regel, die
Glieder als überflüssig wegzuwerfen, die in Folge der Entwickelung der
Gleichungen, als Potenzen jener Inkremente oder Produkte zum Vorschein
kommen, ( etenim isti termini nihilum valebunt ); ebenso seyen die
Glieder, die nur aus der ursprünglichen Gleichung bestimmte Größen
enthalten, wegzuwerfen (das nachherige Abziehen der ursprünglichen
Gleichung von der mit den Inkrementen gebildeten) und zuletzt für das
Inkrement der Ordinate die Ordinate selbst und für das Inkrement der
Abscisse die Subtangente zu substituiren. Man kann, wenn es so zu reden
erlaubt ist, das Verfahren nicht schulmeistermässiger angeben;—die
letztere Substitution ist die für die Tangentenbestimmung in der
gewöhnlichen Differentialmethode zur Grundlage gemachte Annahme der
Proportionalität der Inkremente der Ordinate und Abscisse mit der
Ordinate und Subtangente; in Barrows Regel erscheint diese Annahme in
ihrer ganz naiven Nacktheit. Eine einfache Weise, die Subtangente zu
bestimmen, war gefunden; die Manieren Robervals und Fermats laufen auf
Ähnliches hinaus,—die Methode, die größten und kleinsten Werthe zu
finden, von der der Letztere ausging, beruht auf denselben Grundlagen
und demselben Verfahren. Es war eine mathematische Sucht jener Zeiten,
sogenannte Methoden, d. i. Regeln jener Art zu finden, dabei aus ihnen
auch ein Geheimniß zu machen, was nicht nur leicht, sondern selbst in
einer Rücksicht nöthig war, aus demselben Grunde, als es leicht
war,—nämlich weil die Erfinder nur eine empirische äußerliche Regel,
keine Methode, d. i. nichts aus anerkannten Principien Abgeleitetes,
gefunden hatten. Solche sogenannte Methoden hat Leibnitz von seiner
Zeit, und Newton ebenfalls von derselben und unmittelbarer von seinem
Lehrer aufgenommen; sie haben durch die Verallgemeinerung ihrer Form
und Anwendbarkeit den Wissenschaften neue Bahnen gebrochen, aber damit
zugleich das Bedürfniß gehabt, das Verfahren aus der Gestalt bloß
äußerlicher Regeln zu reißen, und demselben die erforderliche
Berechtigung zu verschaffen gesucht.
Analysiren wir die Methode näher, so ist der wahrhafte Vorgang dieser.
Es werden erstlich die Potenzenbestimmungen (versteht sich der
veränderlichen Größen), welche die Gleichung enthält, auf ihre ersten
Funktionen herabgesetzt. Damit aber wird der Werth der Glieder der
Gleichung verändert; es bleibt daher keine Gleichung mehr, sondern es
ist nur ein Verhältniß entstanden zwischen der ersten Funktion der
einen veränderlichen Größe zu der ersten Funktion der andern; statt px
= y[hoch 2] hat man p : 2y oder statt 2 ax—x[hoch 2] = y[hoch 2] hat
man a—x : y, was nachher als das Verhältniß dy/dx bezeichnet zu werden
pflegte. Die Gleichung ist Gleichung der Curve, dieß Verhältniß, das
ganz von derselben abhängig, aus derselben (oben nach einer bloßen
Regel) abgeleitet ist, ist dagegen ein lineares, mit welchem gewisse
Linien in Proportion sind; p : 2y oder a—x : y sind selbst Verhältnisse
aus geraden Linien der Kurve, den Koordinaten und den Parameters; aber
damit weiß man noch nichts. Das Interesse ist, von andern an der Kurve
vorkommenden Linien zu wissen, daß ihnen jenes Verhältniß zukommt, die
Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden.—Es ist also zweitens die
Frage, welches die geraden, durch die Natur der Kurve bestimmten Linien
sind, welche in solchem Verhältnisse stehen?—dieß aber ist es, was
schon früher bekannt war, daß nämlich solches auf jenem Wege erhaltenes
Verhältniß das Verhältniß der Ordinate zur Subtangente ist. dieß hatten
die Alten auf sinnreichem geometrischen Wege gefunden; was die neuern
Erfinder entdeckt haben, ist das empirische Verfahren, die Gleichung
der Kurve so zuzurichten, daß jenes erste Verhältniß geliefert wird,
von dem bereits bekannt war, daß es einem Verhältnisse gleich ist,
welches die Linie enthält, hier die Subtangente, um deren Bestimmung es
zu thun ist. Theils ist nun jene Zurichtung der Gleichung methodisch
gefaßt und gemacht worden,—die Differentation,—Theils aber sind die
imaginären Inkremente der Koordinaten und das imaginäre hieraus und
einem ebensolchen Inkremente der Tangente gebildete, charakteristische
Dreieck erfunden worden, damit die Proportionalität des durch die
Depotenzirung der Gleichung gefundenen Verhältnisses mit dem
Verhältnisse der Ordinate und der Subtangente nicht als etwas empirisch
nur aus der alten Bekanntschaft Aufgenommenes, sondern als ein
Erwiesenes dargestellt werde. Die alte Bekanntschaft jedoch erweist
sich überhaupt und am unverkennbarsten in der angeführten Form von
Regeln als die einzige Veranlassung und respektive Berechtigung der
Annahme des charakteristischen Dreiecks und jener Proportionalität.
Lagrange hat nun diese Simulation verworfen, und den
ächtwissenschaftlichen Weg eingeschlagen; seiner Methode ist die
Einsicht zu verdanken, worauf es ankommt, indem sie darin besteht, die
beiden Übergänge, die für die Auflösung der Aufgabe zu machen sind, zu
trennen und jede dieser Seiten für sich zu behandeln und zu erweisen.
Der eine Theil dieser Auflösung,—indem wir für die nähere Angabe des
Ganges bei dem Beispiele der elementarischen Aufgabe, die Subtangente
zu finden, bleiben,—der theoretische oder allgemeine Theil, nämlich das
Finden der ersten Funktion aus der gegebenen Kurvengleichung, wird für
sich regulirt; derselbe giebt ein lineares Verhältniß, also von geraden
Linien, die in dem Systeme der Kurvenbestimmung vorkommen. Der andere
Theil der Auflösung ist nun die Findung derjenigen Linien an der Kurve,
welche in jenem Verhältnisse stehen. Dieß wird nun auf die direkte
Weise (Théorie des Fonct. Anal. II. P. II. Chap.) bewerkstelligt, d. i.
ohne das charakteristische Dreieck, nämlich ohne unendlichkleine Bogen,
Ordinaten und Abscissen anzunehmen und diesen die Bestimmungen von dy
und dx, d. i. von den Seiten jenes Verhältnisses und zugleich
unmittelbar die Bedeutung der Gleichheit desselben mit der Ordinate und
Subtangente selbst zu geben. Eine Linie (wie auch ein Punkt) hat allein
ihre Bestimmung, insofern sie die Seite eines Dreiecks ausmacht, wie
auch die Bestimmmung eines Punkts nur in einem solchen liegt. Dieß ist,
um es ini Vorbeigehen zu erwähnen, der Fundamentalsatz der analytischen
Geometrie, welcher die Coordinaten, wie, was dasselbe ist, in der
Mechanik das Parallelogramm der Kräfte herbeiführt, das eben darum der
vielen Bemühung um einen Beweis ganz unbedürftig ist.—Die Subtangente
wird nun als die Seite eines Dreiecks gesetzt, dessen weitere Seiten
die Ordinate und die darauf sich beziehende Tangente ist. Letztere hat
als gerade Linie zu einer Gleichung p = aq, (+ b hinzuzufügen ist für
die Bestimmung unnütz und wird nur um der beliebten Allgemeinheit
hinzugesetzt);—die Determination des Verhältnisses p/q fällt in a, den
Koefficienten von q, der die respective erste Funktion der Gleichung
ist, überhaupt aber nur als a = p/q betrachtet zu werden braucht als,
wie gesagt, die wesentliche Determination der geraden Linie, die als
Tangente an die Kurve applicirt ist. Indem nun ferner die erste
Funktion der Kurvengleichung genommen wird, ist sie ebenso die
Determination einer geraden Linie; indem ferner die eine Koordinate p
der ersten geraden Linie und y, die Ordinate der Kurve, als dieselben
genommen werden, daß also der Punkt, in welchem jene als Tangente
angenommene erste gerade die Kurve berührt, gleichfalls der
Anfangspunkt der durch die erste Funktion der Kurve bestimmten geraden
Linie ist, so kommt es darauf an, zu zeigen, daß diese zweite gerade
Linie mit der ersten zusammenfällt, d. h. Tangente ist; algebraisch
ausgedrückt, daß indem y = fx und p = Fq ist, und nun y = p, also fx =
Fq angenommen wird, auch f'x = F'q. Daß nun die als Tangente applicirte
gerade, und jene aus der Gleichung durch deren erste Funktion
determinirte gerade Linie zusammenfallen, daß die letztere also
Tangente ist; dieß wird mit Zuhilfnahme des Increments i der Abscisse
und des durch die Entwickelung der Funktion bestimmten Increments der
Ordinate gezeigt. Hier kommt denn also gleichfalls das berüchtigte
Increment herein; aber wie es zu dem so eben angegebenen Behufe
eingeführt wird, und die Entwickelung der Funktion nach demselben, muß
von dem früher erwähnten Gebrauch des Inkrements für das Finden der