Wissenschaft der Logik — Band 1 - 22

jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der
Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit,
zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, daß
sie Grenze von Etwas sey, d. h. einen gewissen Werth ausdrücke, der in
der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dieß
konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist.—Sie soll die Grenze des
Verhältnisses seyn, welches die zwei Inkremente zu einander haben, um
welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden
sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als
zunehmend angenommen worden;—der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt
genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht.
Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben
Inkonsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg
ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht,
sich in fx + ph + qh[hoch 2] + rh[hoch 3] u.s.f. verändert, hiermit ist
k = ph + qh[hoch 2] u.s.f. und k/h = p + qh + rh[hoch 2] u.s.f. Wenn
nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p,
welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sey. Man
sieht, daß h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber daß darum k/h nicht
zugleich = 0 seyn, sondern noch ein Verhältniß bleiben soll. Den
Vortheil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die
Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche
Verhältniß, das = 0/0 wäre, sondern nur der bestimmte Werth seyn, dem
sich das Verhältniß unendlich d.i. so nähern könne, daß der Unterschied
kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der
Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll,
wird unten betrachtet werden. —Daß aber ein quantitativer Unterschied,
der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht
nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist,
dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik
evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen
worden. Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives
Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so
kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in
Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden
wird. Giebt man aber zu, daß k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der
That von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter
der Bedingung statt, daß der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn
p seyn solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Werth ist.
Hierauf giebt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst,
daß es ein Koefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht,—die
auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer
ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der That
Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine
Theil der Wissenschaft des Differential-Kalkuls und unmittelbar diese
seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den
Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der
Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem
Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als
welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden,
wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was
damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des
Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso
leeren Kategorien von kontinuirlicher Größe,[11] und welche man sonst,
wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nöthig
erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p,
außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, daß es
weiter nichts als eine aus der Entwickelung eines Binomiums abgeleitete
Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Werth, d. i. welchen
Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfniß habe;
hiervon soll die zweite Anmerkung handeln.—Es folgt aber zunächst hier
noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den
angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der
Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen,
qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu thun
war, gebracht worden ist.
[11] Die Kategorie von der kontinuirlichen oder fließenden Größe
stellt sich mit der Betrachtung der äußerlichen und empirischen
Veränderung der Größen, die durch eine Gleichung in die Beziehung, daß
die Eine eine Funktion der Andern ist, gebracht sind, ein; da aber der
wissenschaftliche Gegenstand der Differentialrechnung ein gewisses
(durch den Differential-Koefficienten gewöhnlich ausgedrücktes)
Verhältniß, welche Bestimmtheit ebensowohl Gesetz genannt werden kann,
ist, so ist für diese specifische Bestimmtheit die bloße Kontinuität
Theils schon eine fremdartige Seite, Theils aber auf allen Fall die
abstrakte und hier leere Kategorie, da über das Gesetz der Kontinuität
gar nichts damit ausgedrückt ist.—Auf welche formelle Definitionen
dabei vollends verfallen wird, ist aus meines verehrten Hrn. Collegen,
Prof. Dirksen, scharfsinniger allgemeinen Darstellung der
Grundbestimmungen, die für die Deduktion des Differential-Kalkuls
gebraucht werden, welche sich an die Kritik einiger neueren Werke über
diese Wissenschaft anschließt und sich in den Jahrb. f. wissensch.
Kritik, 1827 Nr. 153 ff., befindet, zu ersehen, es wird daselbst S.
1251 sogar die Definition angeführt: "Eine stätige oder kontinuirliche
Größe, Kontinuum, ist jede Größe, welche man sich im Zustande des
Werdens gedenkt, so daß dieses Werden nicht sprungweise, sondern durch
ununterbrochenen Fortgang geschieht." Das ist doch wohl tautologisch
dasselbe, was das definitum ist.

Es ist gezeigt worden, daß die sogenannten unendlichen Differenzen das
Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und
daß das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältniß ist, rein insofern
es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältniß geht
hierin so wenig verloren, daß es vielmehr dasjenige ist, was eben durch
die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultirt. Hierin
besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache.—So verschwinden im
letzten Verhältnisse z.B. die Quanta der Abscisse und Ordinate; aber
die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element
der Ordinate, die andere Element der Abscisse. Indem die
Vorstellungsweise gebraucht wird, daß man die eine Ordinate sich der
anderen unendlich nähern läßt, so geht die vorher unterschiedene
Ordinate in die andere Ordinate, und die vorher unterschiedene Abscisse
in die andere Abscisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in
die Abscisse, oder die Abscisse in die Ordinate über. Das Element der
Ordinate,—um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu
bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen
Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die
qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das
Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im
Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr
Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches
innerhalb seiner selbst zu seyn; er ist in die einfache Intensität
zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen
Verhältnißmoments gegen das andere.
Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, daß das,
was so eben Element z.B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz
oder Inkrement gefaßt wird, daß es nur der Unterschied des Quantums
einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sey. Die
Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur
als der letzte Werth, dem sich eine andere Größe von gleicher Art
beständig so nähere, daß sie von ihm, so wenig als man will,
unterschieden seyn könne, und daß das letzte Verhältniß, ein Verhältniß
der Gleichheit sey. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines
Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative
Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen
x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man läßt
dx[hoch 2] gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx
gegen x, dieß heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältniß zu
dy.—Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich
darum zu thun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu
machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom
Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu
halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende
und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung
bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich
nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.
Indem es nun damit geschehen ist, daß die Inkremente oder unendlichen
Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet,
und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als
verhältnißlose Momente gefaßt. Es würde die unstatthafte Vorstellung
daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa
Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus
und was alles noch, einander gleich zu setzen.—Diese Vorstellung
scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente
behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mft der
geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das
Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und
unerlaubter, als die Verwechslung der Abscisse, Ordinate, des Sinus
versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis, wenn ein ob zwar
unendlich kleiner Theil des Bogens, für ein Stück der Tangente,
genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. —Allein diese
Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu
unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in dem Dreieck,
weilches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abscisse und
der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältniß dasselbe ist, als
wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der
Tangente wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältniß
konstituiren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von
den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahirt wird, sind die
nämlichen.—Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als
unendlichklein, seyen in krumme Linien übergegangen, und das Verhältniß
ihrer in ihrer Unendlichkeit sey ein Kurvenverhältniß. Da nach ihrer
Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist,
so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung
von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem
Wege, was also eine Bestimmung von Quantum Ist. Aber diese Bestimmung
verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment,
als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie,
der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte.—Also als unendlich
behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältniß und damit,
auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative
Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese
über.
Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung
heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig
gleichgültige Annahme, daß unendlich kleine Theile desselben Ganzen
einander gleich seyen; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen
d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Größebestimmung
behafteten Gegenstand, bringt sie die eigenthüniliche Verkehrung
hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, daß in
gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Theile einer
Kurve in gleichförmiger Bewegung durchloffen werden, indem dieß von
einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i.
existirenden Zeittheilen endliche, d. i. existirende ungleiche Theile
der Kurve durchloffen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als
existirend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist
der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich
in der oben auch angeführten Entwickelung der Formel von
ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergiebt,
bedeuten soll. Ältere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu
erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten
Gegenständen zu thun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in
geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die
Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder
einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die
Größe des Gegenstands z.B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine
gegenständliche Bedeutung, z.B. der Geschwindigkeit, beschleunigende
Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze,
physikalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch
ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt seyn, wie z.B.
eben daß in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere
den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein
Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze
werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als
Ergebnisse des Kalkuls aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen
reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen
selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit,
den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen
reellen Sinn genommen werden, z.B. den Übergang von jener
schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen
beschleunigten, begreifflich zu machen, gilt dafür, durch die
analytische Behandlung ganz beseitigt zu seyn, als in welcher solcher
Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der
Operationen des Kalkuls ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft
ausgegeben, durch den bloßen Kalkul über die Erfahrung hinaus Gesetze,
d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in
der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimal-Kalkuls sollte von jenen
Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt,
ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in
solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu thun war,
angewendet werden, (—man sehe den newtonischen Beweis von seinem
Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem.
philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit
Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. §. 20), wo zugestanden wird,
daß es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des
Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt—).
Es wird nicht geläugnet werden können, daß man sich in diesem Felde
vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des
Unendlich-Kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als
dem, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der
Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, wenigstens den
Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte;—einen Schein, den
man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog.
Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine
bloße Taschenspielerei und Charlatanerie des Beweisens anzusehen, und
hierunter selbst newtonische Beweise zu rechnen, ins Besondere die zu
dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den
Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch
Erfahrung gefunden, mathematisch dargethan zu haben.
Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze
zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht
Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind,
welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem
einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht
vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht
lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer
Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, daß alle in ihr
vorkommenden Sätze streng bewiesen seyn sollen, ließ sie ihre Grenze
oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze
einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen;
später ist das Bewußtseyn hierüber gebildeter geworden; eh dieses aber
über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar
ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur
Glieder analytischer Entwickelung und was physikalische Existenzen
sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner
Haltung herausbilden.—Jenem Gerüste newtonischen Beweisens aber wird
ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem anderen
grundlosen newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und
damit verbundenem Schließen angethan worden ist. Die angewandte
Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und
Reflexion, aber wie vonjener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Theil
nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignorirt zu werden
mit der Inkonsequenz jedoch, das Übrige obgleich damit Widersprechende
noch gewähren zu lassen, —so ist es auch Faktum, daß bereits ein Theil
jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit gerathen oder
durch andere ersetzt worden ist.
Anmerkung 2.Der Zweck des Differentialkalkuls aus seiner Anwendung
abgeleitet.
In der vorigen Anmerkung ist Theils die Begriffsbestimmtheit des
Unendlich-Kleinen, das in dem Differential-Kalkul gebraucht wird,
Theils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden;
Beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die
sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als
auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite
sollen der Gegenstand dieser Anmerkung seyn.—Die ganze Methode der
Differentialrechnung ist in dem Satze, daß dx[hoch n] = nx[hoch n 1]dx,
oder f(x+i)-fx/i = P, d.i. gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes
des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x + d, x +
i, absolvirt. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der
nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer
Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig
Zeit, vielleicht in einer halben Stunde—mit dem Finden der
Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen
Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben,—kann man die
ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung
es einzusehn, begreifflich zu machen, daß nachdem der eine Umstand der
Aufgabe, das Finden jenes Koefficienten, auf analytische d. i. ganz
arithmetische Weise, durch die Entwickelung der Funktion der
veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines
Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem
andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der
entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es
der Fall, daß man jenen Koefficienten allein nöthig hätte, so wäre mit
der Bestimmung desselben Alles, was die Theorie betrifft, —wie gesagt
in weniger als einer halben Stunde abgethan, und das Weglassen der
weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, daß
vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f.
Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten
gleichfalls absolvirt), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und
gar nicht zu thun ist.
Es kann die Bemerkung vorangeschickt werden, daß man es der Methode des
Differentialkalkuls wohl sogleich ansieht, daß sie nicht für sich
selbst erfunden und aufgestellt worden ist; sie ist nicht nur nicht für
sich begründet, als eine andere Weise analytischen Verfahrens, sondern
die Gewaltsamkeit, Glieder, die sich aus Entwickelung einer Funktion
ergeben, indem doch das Ganze dieser Entwickelung vollständig zur Sache
zu gehören angenommen ist,—weil die Sache als der Unterschied
der entwickelten Funktion einer veränderlichen Größe, nachdem dieser
die Gestalt eines Binomiums gegeben worden, von der ursprünglichen,
angesehen wird,—geradezu wegzulassen, widerspricht vielmehr durchaus
allen mathematischen Grundsätzen. Das Bedürfniß solcher
Verfahrungsweise, wie die ihr an ihr selbst mangelnde Berechtigung,
weist sogleich darauf hin, daß anderswo der Ursprung und die Grundlage
sich befinden müsse. Es geschieht auch sonst in den Wissenschaften, daß
das, was als das Elementarische vornehin gestellt ist und woraus die
Sätze der Wissenschaft abgeleitet werden sollen, nicht einleuchtend
ist, und daß es sich ausweist, vielmehr in dem Nachfolgenden seine
Veranlassung und seine Begründung zu haben. Der Hergang in der
Geschichte des Differential-Kalkuls thut dar, daß er in den
verschiedenen sogenannten Tangential-Methoden vornehmlich, die Sache
gleichsam als in Kunststücken, den Anfang genommen hat; die Art des
Verfahrens, nachdem es auch auf weitere Gegenstande ausgedehnt worden,
ist spater zum Bewußtseyn und in abstrakte Formeln gebracht worden,
welche nun auch zu Principien zu erheben versucht wurde.
Als die Begriffsbestimmtheit des sogenannten Unendlich-Kleinen ist die
qualitative Quantitäts-Bestimmtheit solcher, die zunächst als Quanta im
Verhältniß zu einander gesetzt sind, aufgezeigt worden, woran sich die
empirische Untersuchung knüpfte, jene Begriffs-Bestimmtheit in den
Beschreibungen oder Definitionen nachzuweisen, die sich von dem
Unendlich-Kleinen, insofern es als unendliche Differenz und dergleichen
genommen ist, vorfinden.—Dieß ist nur im Interesse der abstrakten
Begriffsbestimmtheit als solcher geschehen; die weitere Frage wäre, wie
von ihr der Übergang zur mathematischen Gestaltung und Anwendung
beschaffen wäre. Zu dem Ende ist zuerst das Theoretische, die
Begriffsbestimmtheit, noch weiter vorzunehmen, welche sich an ihr
selbst nicht ganz unfruchtbar zeigen wird; alsdenn ist das Verhältniß
derselben zur Anwendung zu betrachten, und bei beidem nachzuweisen, so
weit es hier angeht, daß die allgeineinen Folgerungen zugleich
demjenigen, um was es in der Differentialrechnung zu thun ist, und der
Art, wie sie es bewerkstelligt, angemessen sind.
Zunächst ist daran zu erinnern, daß die Form, welche die in Rede
stehende Begriffsbestimmtheit im Mathematischen hat, bereits beiläufig
angegeben ist. Die qualitative Bestimmtheit des Quantitativen ist
zuerst im quantitativen Verhältniß überhaupt aufgewiesen, es ist aber
auch schon bei der Nachweisung der unterschiedenen sogenannten
Rechnungsarten (s. d. betreff. Anm.) anticipirt worden, daß das nachher
an seiner eigenthümlichen Stelle noch zu betrachtende
Potenzenverhältniß es ist, worin die Zahl durch Gleichsetzung ihrer
Begriffsmomente, der Einheit und der Anzahl als zu sich selbst
zurückgekehrte gesetzt ist, und damit das Moment der Unendlichkeit, des
Fürsichseyns, d. i. des Bestimmtseyns durch sich selbst, an ihr erhält.
Die ausdrückliche qualitative Größenbestimmtheit bezieht sich somit,
wie gleichfalls schon erinnert, wesentlich auf Potenzenbestimmungen,
und da die Differentialrechnung das Specifische hat, mit qualitativen
Größenformen zu operiren, so muß ihr eigenthümlicher mathematischer
Gegenstand die Behandlung von Potenzenformen seyn, und die sämmtlichen
Aufgaben und deren Auflösungen, zu deren Behuf die Differentialrechnung
gebraucht wird, zeigen es, daß das Interesse allein in der Behandlung
von Potenzenbestimmungen als solchen liegt.
So wichtig diese Grundlage ist, und sogleich an die Spitze etwas
Bestimmtes stellt, statt der bloß formellen Kategorien von
veränderlichen, kontinuirlichen oder unendlichen Größen und
dergleichen, oder auch nur von Funktionen uberhaupt, so ist sie noch zu
allgemein; andere Operationen haben gleichfalls damit zu thun; schon
das Erheben in die Potenz und Wurzelausziehen, dann die Behandlung der
Exponentialgrößen und Logarithmen, Reihen, die Gleichungen höherer
Ordnungen haben ihr Interesse und ihre Bemühung allein mit
Verhältnissen, die auf Potenzen beruhen. Ohne Zweifel müssen sie
zusammen ein System der Potenzenbehandlung ausmachen; aber welches
unter den verschiedenen Verhältnissen, worein Potenzenbestimmungen
gesetzt werden können, dasjenige sey, das der eigentliche Gegenstand
und das Interesse für die Differentialrechnung ist, dieß ist aus dieser
selbst, d. i. aus den sogenannten Anwendungen derselben zu entnehmen.
Diese sind in der That die Sache selbst, das wirkliche Verfahren in der
mathematischen Auflösung eines gewissen Kreises von Problemen; dieß
Verfahren ist früher gewesen, als die Theorie oder der allgemeine
Theil, und Anwendung ist dasselbe später genannt worden nur in
Beziehung auf die nachher erschaffene Theorie, welche die allgemeine
Methode des Verfahrens Theils aufstellen, Theils ihr aber Principien,
d. i. Rechtfertigung geben wollte. Welche vergebliche Bemühung es
gewesen ist, für die bisherige Auffassungsweise des Verfahrens
Principien aufzufinden, welche den Widerspruch, der dabei zum Vorschein
kommt, wirklich lösten, statt ihn nur durch die Unbedeutenheit des nach
dem mathematischen Verfahren nothwendigen hier aber wegzulassenden,
oder durch die auf dasselbe hinauslaufende Möglichkeit der unendlichen
oder beliebigen Annäherung und dergleichen zu entschuldigen oder zu
verstecken, ist in voriger Anmerkung gezeigt worden. Wenn aus dem
wirklichen Theile der Mathematik, der die Differentialrechnung genannt
wird, das Allgemeine des Verfahrens anders abstrahirt würde, als bisher
geschehen ist, so würden sich jene Principien und die Bemühung mit
denselben auch als entbehrlich zeigen, wie sie an ihnen selbst sich als
etwas Schiefes und im Widerspruche Bleibendes ausweisen.
Wenn wir diesem Eigenthümlichen durch einfaches Aufnehmen des in diesem
Theile der Mathematik Vorhandenen nachforschen, so finden wir als
Gegenstand à) Gleichungen, in welchen eine beliebige Anzahl von Größen
(wir können hier überhaupt bei zwei stehen bleiben) zu einem Ganzen der
Bestimmtheit so verbunden sind, daß diese erstens ihre Bestimmtheit in
empirischen Größen, als festen Grenzen und dann in der Art der
Verbindung mit denselben, so wie ihrer Verbindung untereinander, haben;
wie dieß überhaupt in einer Gleichung der Fall ist; indem aber nur Eine
Gleichung für beide Größen (und ebenso relativ wohl mehrere Gleichungen
für mehrere Größen, aber immer weniger, als die Anzahl der Größen ist—)
vorhanden ist, gehören diese Gleichungen zu den unbestimmten; und daß
zweitens eine Seite, wie diese Größen hier ihre Bestimmtheit haben,
darin liegt, daß sie (wenigstens eine derselben) in einer höhern, als
die erste Potenz, in der Gleichung vorhanden sind.
Hierüber sind zunächst einige Bemerkungen zu machen, für's Erste, daß
die Größen nach der ersten der angegebenen Bestimmungen ganz nur den
Charakter solcher veränderlichen Größen haben, wie sie in den Aufgaben
der unbestimmten Analysis vorkommen. Ihr Werth ist unbestimmt, aber so
daß wenn anderswoher ein vollkommen bestimmter Werth, d. i. ein
Zahlenwerth für die eine kommt, auch die andere bestimmt, so die eine,
eine Funktion der andern, ist. Die Kategorien von veränderlichen
Größen, Funktionen und dergleichen sind darum für die specifische
Größebestimmtheit, die hier in Rede steht, nur formell, wie vorhin
gesagt worden ist, weil sie von einer Allgemeinheit sind, in welcher
dasjenige Specifische, worauf das ganze Interesse des
Differentialkalkuls geht, noch nicht enthalten ist, noch daraus durch
Analyse explicirt werden kann; sie sind für sich einfache,
unbedeutende, leichte Bestimmungen, die nur erst schwierig gemacht