Wissenschaft der Logik — Band 1 - 21

nämlich, wie gesagt, Untheilbare oder Eins verstanden werden können. In
der Bestimmung des letzten Verhältnisses aber ist sowohl die
Vorstellung des gleichgültigen Eins, des verhältnißlosen, als auch des
endlichen Quantums entfernt. Es bedürfte aber weder des Abnehmens ohne
Grenze, in das Newton das Quantum versetzt und das nur den Progreß ins
Unendliche ausdrückt, noch der Bestimmung der Theilbarkeit, welche hier
keine unmittelbare Bedeutung mehr hat, wenn die geforderte Bestimmung
sich zum Begriffe einer Größebestimmung, die rein nur Moment des
Verhältnisses ist, fortgebildet hätte.
In Rücksicht der Erhaltung des Verhältnisses im Verschwinden der
Quantorum findet sich (anderwärts, wie bei Carnot, Réflexions sur la
Métaphysique du Calcul Infinitésimal.) der Ausdruck, daß vermöge des
Gesetzes der Stätigkeit die verschwindenden Größen noch das Verhältniß,
aus dem sie herkommen, ehe sie verschwinden, behalten. —Diese
Vorstellung drückt die wahre Natur der Sache aus, insofern nicht die
Stätigkeit des Quantums verstanden wird, die es im unendlichen Progreß
hat, sich in sein Verschwinden so zu kontinuiren, daß im Jenseits
seiner wieder nur ein endliches Quantum, ein neues Glied der Reihe
entsteht; ein stätiger Fortgang wird aber immer so vorgestellt, daß die
Werthe durchloffen werden, welche noch endliche Quanta sind.
In demjenigen Übergange dagegen, welcher in das wahrhafte Unendliche
gemacht wird, ist das Verhältniß das stätige; es ist so sehr stätig und
sich erhaltend, daß er vielmehr allein darin besteht, das Verhältniß
rein herauszuheben, und die verhältnißlose Bestimmung, d. i. daß ein
Quantum, welches Seite des Verhältnisses ist, auch außer dieser
Beziehung gesetzt, noch Quantum ist, verschwinden zu machen. —Diese
Reinigung des quantitativen Verhältnisses ist insofern nichts anders,
als wenn ein empirisches Daseyn begriffen wird. Dieß wird hierdurch so
über sich selbst erhoben, daß sein Begriff dieselben Bestimmungen
enthält, als es selbst, aber in ihrer Wesentlichkeit und in die Einheit
des Begriffes gefaßt, worin sie ihr gleichgültiges, begriffloses
Bestehen verloren haben.
Gleich interessant ist die andere Form der newtonischen Darstellung der
in Rede stehenden Größen, nämlich als erzeugender Größen oder
Principien. Eine erzeugte Größe (genita) ist ein Produkt oder Quotient,
Wurzeln, Rechtecke, Quadrate, auch Seiten von Rechtecken,
Quadraten;—überhaupt eine endliche Größe.—"Sie als veränderlich
betrachtet, wie sie in fortdauernder Bewegung und Fließen zu- oder
abnehmend ist, so verstehe er ihre momentanen Inkremente oder
Dekremente unter dem Namen von Momenten. Diese sollen aber nicht für
Theilchen von bestimmter Größe genommen werden ( particulae finitae ).
Solche seyen nicht selbst Momente, sondern aus Momenten erzeugte
Größen; es seyen vielmehr die werdenden Principien oder Anfänge
endlicher Größen zu verstehen."—Das Quantum wird hier von sich selbst
unterschieden, wie es als ein Produkt oder Daseyendes, und wie es in
seinem Werden, in seinem Anfange und Princip, das heißt, wie es in
seinem Begriffe, oder was hier dasselbe ist, in seiner qualitativen
Bestimmnng ist; in der letztern sind die quantitativen Unterschiede,
die unendlichen Inkremente oder Dekremente, nur Momente; erst das
Gewordene ist das in die Gleichgültigkeit des Daseyns und in die
Äußerlichkeit übergegangene, das Quantum.—Wenn aber diese in Ansehung
der Inkremente oder Dekremente angeführten Bestimmungen des
Unendlichen, von der Philosophie des wahrhaften Begriffs anerkannt
werden müssen, so ist auch sogleich zu bemerken, daß die Formen selbst
von Inkrementen u.s.f. innerhalb der Kategorie des unmittelbaren
Quantums und des erwähnten stätigen Fortgangs fallen, und vielmehr sind
die Vorstellungen von Inkrement, Zuwachs, Zunahme des x um d x oder i
u.s.f. als das in den Methoden vorhandene Grundübel anzusehen;—als das
bleibende Hinderniß, aus der Vorstellung des gewöhnlichen Quantums die
Bestimmung des qualitativen Quantitätsmoments rein herauszuheben.
Gegen die angegebenen Bestimmungen steht die Vorstellung von
unendlich-kleinen Größen, die auch im Inkrement oder Dekrement selbst
steckt, weit zurück. Nach derselben sollen sie von der Beschaffenheit
seyn, daß nicht nur sie gegen endliche Größen, sondern auch deren
höhere Ordnungen gegen die niedrigere, oder auch die Produkte aus
mehrern gegen eine einzelne zu vernachlässigen seyen. —bei Leibnitz
hebt sich die Forderung dieser Vernachlässigung, welche die
vorhergehenden Erfinder von Methoden, die sich auf diese Größe bezogen,
gleichfalls eintreten lassen, auffallender hervor. Sie ist es
vornehmlich, die diesem Kalkul beim Gewinne der Bequemlichkeit den
Schein von Ungenauigkeit und ausdrücklicher Unrichtigkeit in dem Wege
seiner Operation giebt.—Wolf hat sie in seiner Weise, die Sachen
populär zu machen, d. h. den Begriff zu verunreinigen und unrichtige
sinnliche Vorstellungen an dessen Stelle zu setzen, verständlich zu
machen gesucht. Er vergleicht nämlich die Vernachlässigung der
unendlichen Differenzen höherer Ordnungen gegen niedrigere, mit dem
Verfahren eines Geometers, der bei der Messung der Höhe eines Berges um
nicht weniger genau gewesen sey, wenn der Wind indeß ein Sandkörnchen
von der Spitze weggeweht habe, oder mit der Vernachlässigung der Höhen
der Häuser, Thürme bei der Berechnung der Mondfinsternisse (Element.
Mathes. univ. Tom. I. El. Analys. math. P. II. C. I. s. Schol.).
Wenn die Billigkeit des gemeinen Menschenverstandes eine solche
Ungenauigkeit erlaubt, so haben dagegen alle Geometer diese Vorstellung
verworfen. Es dringt sich von selbst auf, daß in der Wissenschaft der
Mathematik von einer solchen empirischen Genauigkeit ganz und gar nicht
die Rede ist, daß das mathematische Messen durch Operationen des
Kalkuls oder durch Konstruktionen und Beweise der Geometrie, gänzlich
vom Feldmessen, vom Messen empirischer Linien, Figuren u.s.f.
unterschieden ist. Ohnehin zeigen, wie oben angeführt, die Analytiker
durch die Vergleichung des Resultats, wie es auf streng geometrischem
Wege und wie es nach der Methode der unendlichen Differenzen erhalten
wird, daß das eine dasselbe ist als das andere, und daß ein Mehr oder
Weniger von Genauigkeit ganz und gar nicht Statt findet. Und es
versteht sich von selbst, daß ein absolut genaues Resultat nicht aus
einem Verfahren herkommen könne, das ungenau wäre. Jedoch kann wieder
auf der anderen Seite das Verfahren selbst, jener Vernachlässigung aus
dem Grunde der Unbedeutenheit, des Protestirens gegen die angeführte
Rechtfertigungsweise unerachtet, nicht entbehren. Und dieß ist die
Schwierigkeit, um welche die Bemühungen der Analytiker gehen, das
hierin liegende Widersinnige begreiflich zu machen, und es zu
entfernen.
Es ist in dieser Rücksicht vornehmlich Eulers Vorstellung anzuführen.
Indem er die allgemeine Newtonische Definition zu Grunde legt, dringt
er darauf, daß die Differentialrechnung die Verhältnisse der Inkremente
einer Größe betrachte, daß aber die unendliche Differenz als solche
ganz als Null zu betrachten sey, (Institut. Calc. different. P. I. C.
III.).—Wie dieß zu verstehen ist, liegt im Vorhergehenden; die
unendliche Differenz ist Null nur des Quantums, nicht eine qualitative
Null, sondern als Null des Quantums vielmehr reines Moment nur des
Verhältnisses. Sie ist nicht ein Unterschied um eine Größe; aber darum
ist es einer Seits überhaupt schief, jene Momente, welche
unendlich-kleine Größen heißen, auch als Inkremente oder Dekremente,
und als Differenzen auszusprechen. Dieser Bestimmung liegt zu Grunde,
daß zu der zuerst vorhandenen endlichen Größe etwas hinzukomme oder
davon abgezogen werde, eine Subtraktion oder Addition, eine
arithmetische, äußerliche Operation vorgehe. Der Übergang von der
Funktion der veränderlichen Größe in ihr Differential ist aber
anzusehen, daß er von ganz anderer Natur ist, nämlich wie erörtert
worden, daß er als Zurückführung der endlichen Funktion auf das
qualitative Verhältniß ihrer Quantitätsbestimmungen zu betrachten
ist.—Anderer Seits fällt die schiefe Seite für sich auf, wenn gesagt
wird, daß die Inkremente für sich Nullen seyen, daß nur ihre
Verhältnisse betrachtet werden; denn eine Null hat überhaupt keine
Bestimmtheit mehr. Diese Vorstellung kommt also zwar bis zum Negativen
des Quantums und spricht es bestimmt aus, aber faßt dieß Negative nicht
zugleich in seiner positiven Bedeutung, von qualitativen
Quantitätsbestimmungen, die, wenn sie aus dem Verhältnisse gerissen und
als Quanta genommen werden wollten, nur Nullen wären.—Lagrange (
Théorie des fonct. analyt. Introd. ) urtheilt über die Vorstellung der
Grenzen oder letzten Verhältnisse, daß wenn man gleich sehr gut das
Verhältniß zweier Größen sich vorstellen könne, so lange sie endlich
bleiben, so gebe dieß Verhältniß dem Verstande keinen deutlichen und
bestimmten Begriff, sobald seine Glieder zugleich Null werden.—In der
That muß der Verstand über diese bloß negative Seite, daß die
Verhältnißglieder Nullen als Quanta sind, hinausgehen, und sie positiv,
als qualitative Momente auffassen.—Was aber Euler (am angeführten Ort
§. 84 ff.) weiter in Betreff der gegebenen Bestimmung hinzufügt, um zu
zeigen, daß zwei sogenannte unendlich kleine Größen, welche nichts
anders als Nullen seyn sollen, doch ein Verhältniß zu einander haben
und deßwegen auch nicht das Zeichen der Null, sondern andere Zeichen
für sie im Gebrauch seyen, kann nicht für genügend angesehen werden. Er
will dieß durch den Unterschied des arithmetischen und geometrischen
Verhältnisses begründen; bei jenem sehen wir auf die Differenz, bei
diesem auf den Quotienten, obgleich das erstere zwischen zwei Nullen
gleich sey, so sey es deßwegen doch das geometrische nicht; wenn 2:1 =
0:0, so müsse wegen der Natur der Proportion, da das erste Glied
doppelt so groß sey als das zweite, auch das dritte Glied doppelt so
groß als das vierte seyn; O:O soll also nach der Proportion als das
Verhältniß von 2:1 genommen werden.—Auch nach der gemeinen Arithmetik
seyn n.O = O; es sey also n:1 = O:O.—Allein eben dadurch, daß 2:1 oder
n:1 ein Verhältniß von Quantis ist, entspricht ihm nicht ein Verhältniß
noch eine Bezeichnung von O:O.
Ich enthalte mich, die Anführungen zu vermehren, indem die betrachteten
zur Genüge gezeigt haben, daß in ihnen wohl der wahrhafte Begriff des
Unendlichen liegt, daß er aber nicht in seiner Bestimmtheit
herausgehoben und gefaßt worden ist. Indem daher zur Operation selbst
fortgegangen wird, so kann es nicht geschehen, daß in ihr die wahrhafte
Begriffsbestimmung sich geltend mache; die endliche
Quantitätsbestimmtheit kehrt vielmehr zurück und die Operation kann der
Vorstellung eines bloß relativ-kleinen nicht entbehren. Der Kalkul
macht es nothwendig, die sogenannten unendlichen Größen den
gewöhnlichen arithmetischen Operationen des Addirens u.s.f., welche
sich auf die Natur endlicher Größen gründen, zu unterwerfen, und sie
somit als endliche Größen für einen Augenblick gelten zu lassen und als
solche zu behandeln. Der Kalkul hätte sich darüber zu rechtfertigen,
daß er sie das eine Mal in diese Sphäre herabzieht und sie als
Inkremente oder Differenzen behandelt, und daß er auf der anderen Seite
sie als Quanta vernachlässigt, nachdem er so eben Formen und Gesetze
der endlichen Größen auf sie angewendet hatte.
Über die Versuche der Geometer, diese Schwierigkeiten zu beseitigen,
führe ich noch das Hauptsächlichste an.
Die ältern Analytiker machten sich hierüber weniger Skrupel; aber die
Bemühungen der Neueren gingen vornehmlich dahin, den Kalkul des
Unendlichen zur Evidenz der eigentlich geometrischen Methode
zurückzubringen und in ihr die Strenge der Beweise der Alten (-
Ausdrücke von Lagrange—) in der Mathematik zu erreichen. Allein da das
Princip der Analysis des Unendlichen höherer Natur, als das Princip der
Mathematik endlicher Größen ist, so mußte jene von selbst sogleich auf
jene Art von Evidenz Verzicht thun, wie die Philosophie auch auf
diejenige Deutlichkeit keinen Anspruch machen kann, die die
Wissenschaften des Sinnlichen, z.B. Naturgeschichte hat, und wie Essen
und Trinken für ein verständlicheres Geschäfte gilt, als Denken und
Begreifen. Es wird sich demnach nur um die Bemühung handeln, die
Strenge der Beweise der Alten zu erreichen.
Mehrere haben versucht, den Begriff des Unendlichen ganz zu entbehren,
und ohne ihn das zu leisten, was an den Gebrauch desselben gebunden
schien.—Lagrange spricht z.B. von der Methode, die Landen erfunden hat,
und sagt von ihr, daß sie rein analytisch sey und die unendlich kleinen
Differenzen nicht gebrauche, sondern zuerst verschiedene Werthe der
veränderlichen Größen einführe, und sie in der Folge gleichsetze. Er
urtheilt übrigens, daß darin die der Differentialrechnung eignen
Vorzüge, Einfachheit der Methode und Leichtigkeit der Operationen
verloren gehe.—Es ist dieß wohl ein Verfahren, das mit demjenigen etwas
Entsprechendes hat, von welchem Descartes Tangentenmethode ausgeht, die
weiterhin noch näher zu erwähnen ist. Soviel, kann hier bemerkt werden,
erhellt sogleich im Allgemeinen, daß das Verfahren überhaupt,
verschiedene Werthe der veränderlichen Größen anzunehmen, und sie
nachher gleichzusetzen, einem anderen Kreise mathematischer Behandlung
angehört, als die Methode des Differential-Kalkuls selbst und die
späterhin näher zu erörternde Eigenthümiichkeit des einfachen
Verhältnisses, auf welches sich die wirkliche konkrete Bestimmung
desselben zurückführt, nämlich der abgeleiteten Funktion zu der
ursprünglichen, nicht herausgehoben wird.
Die Ältern unter den Neuern, wie z.B. Fermat, Barrow und andere, die
sich zuerst des Unendlich-Kleinen in derjenigen Anwendung bedienten,
welche später zur Differential- und Integralrechnung ausgebildet wurde,
und dann auch Leibnitz und die Folgenden, auch Euler, haben immer
unverhohlen, die Produkte von unendlichen Differenzen, so wie ihre
höhern Potenzen nur aus dem Grunde weglassen zu dürfen geglaubt, weil
sie relativ gegen die niedrige Ordnung verschwinden. Hierauf beruht bei
ihnen allein der Fundamentalsatz, nämlich die Bestimmung dessen, was
das Differential eines Produkts oder einer Potenz sey, denn hierauf
reducirt sich die ganze theoretische Lehre. Das Übrige ist Theils
Mechanismus der Entwickelung, Theils aber Anwendung, in welche jedoch,
was weiterhin zu betrachten ist, in der That auch das höhere oder
vielmehr einzige Interesse fällt.—In Rücksicht auf das Gegenwärtige ist
hier nur das Elementarische anzuführen, daß aus dem gleichen Grunde der
Unbedeutenheit als der Hauptsatz, die Curven betreffend, angenommen
wird, daß die Elemente der Curven, nämlich die Inkremente der Abscisse
und der Ordinate, das Verhältniß der Subtangente und der Ordinate zu
einander haben; für die Absicht, ähnliche Dreiecke zu erhalten, wird
der Bogen, der die dritte Seite eines Dreiecks zu den beiden
Inkrementen, des mit Recht vormals sogenannten charakteristischen
Dreiecks, ausmacht, als eine gerade Linie, als Theil der Tangente, und
damit das eine der Inkremente bis an die Tangente reichend angesehen.
Diese Annahmen erheben jene Bestimmungen einer Seits über die Natur
endlicher Größen; anderer Seits aber wird ein Verfahren auf die nun
unendlich genannten Momente angewendet, das nur von endlichen Größen
gilt, und bei dem nichts aus Rücksicht der Unbedeutenheit
vernachiässigt werden darf. Die Schwierigkeit, von der die Methode
gedrückt wird, bleibt bei solcher Verfahrungsweise in ihrer ganzen
Stärke.
Es ist hier eine merkwürdige Procedur Newtons anzuführen; (Princ. Math.
phil. nat. Lib. II. Lemma II. Propos. VII.)—die Erfindung eines
sinnreichen Kunststücks, uni das arithmetisch unrichtige Weglassen der
produkte unendlicher Differenzen oder höherer Ordnungen derselben bei
dem Finden der Differentialien, zu beseitigen. Er findet das
Differential des Produkts,—woraus sich dann die Differentialien der
Quotienten, Potenzen u.s.f. leicht herleiten, —auf folgende Art. Das
Produkt, wenn x, y, jedes um die Hälfte seiner unendlichen Differenz
kleiner genommen wird, geht über in x y—xdy/2—ydx/2 + dxdy/4; aber wenn
man x und y um ebenso viel zunehmen läßt, in x y + xdy/2 + ydx/2 +
dxdy/4. Von diesem zweiten Produkt nun das erste abgezogen, bleibt y d
x + x d y als Überschuß, und dieß sey der Überschuß des Wachsthums um
ein ganzes dx und dy, denn um dieses Wachsthum sind beide Produkte
unterschieden; es ist also das Differential von xy.—Man sieht in diesem
Verfahren fällt das Glied, welches die Hauptschwierigkeit ausmacht, das
Produkt der beiden unendlichen Differenzen, dxdy, durch sich selbst
hinweg. Aber des newtonischen Namens unerachtet muß es gesagt werden
dürfen, daß solche, obgleich sehr elementarische Operation, unrichtig
ist; es ist unrichtig, daß (x + dx/2) (y + dy/2)—(x—dx/2) (y—dy/2) = (x
+ dx) (y + dy)—xy. Es kann nur das Bedürfniß seyn, den Fluxionen-Kalkul
bei seiner Wichtigkeit zu begründen, was einen Newton dahin bringen
konnte, die Täuschung solchen Beweisens sich zu machen.
Andere Formen, die Newton bei der Ableitung des Differentials
gebraucht, sind an konkrete auf Bewegung sich beziehende Bedeutungen
der Elemente und deren Potenzen gebunden.—Beim Gebrauche der
Reihenform, der sonst seine Methode auszeichnet, liegt es zu nahe zu
sagen, daß man es immer in seiner Macht habe, durch das Hinzufügen
weiterer Glieder die Größe so genau zu nehmen, als man nöthig habe, und
daß die weggelassenen relativ unbedeutend, überhaupt das Resultat nur
eine Näherung sey, als daß er nicht auch hier mit diesem Grunde sich
begnügt hätte, wie er bei seiner Methode der Auflösung der Gleichungen
höherer Grade durch Näherung die höheren Potenzen, die bei der
Substitution jedes gefundenen noch ungenauen Werthes in die gegebene
Gleichung entstehen, aus dem rohen Grunde ihrer Kleinigkeit wegläßt; s.
Lagrange Equations Numériques p. 125.
Der Fehler, in welchen Newton bei der Auflösung eines Problems durch
das Weglassen wesentlicher höherer Potenzen verfiel, der seinen Gegnern
die Gelegenheit eines Triumphs ihrer Methode über die seinige gab, und
von welchem Lagrange in seiner neuerlichen Untersuchung desselben
(Théorie des fonct. analyt. 3me P. Ch. IV.) den wahren Ursprung
aufgezeigt hat, beweist das Formelle und die Unsicherheit, die im
Gebrauche jenes Instruments noch vorhanden war. Lagrange zeigt, daß
Newton dadurch in den Fehler fiel, weil er das Glied der Reihe
vernachlässigte, das die Potenz enthielt, auf welche es in der
bestimmten Aufgabe ankam. Newton hatte sich an jenes formelle
oberflächliche Princip, Glieder wegen ihrer relativen Kleinheit
wegzulassen, gehalten.—Es ist nämlich bekannt, daß in der Mechanik den
Gliedern der Reihe, in der die Funktion einer Bewegung entwickelt wird,
eine bestimmte Bedeutung gegeben wird, so daß sich das erste Glied oder
die erste Funktion auf das Moment der Geschwindigkeit, die zweite auf
die beschleunigende Kraft, und die dritte auf den Widerstand von
Kräften beziehe. Die Glieder der Reihe sind hiermit hier nicht nur als
Theile einer Summe anzusehen, sondern als qualitative Momente eines
Ganzen des Begriffs. Hiedurch erhält das Weglassen der übrigen Glieder,
die der schlechtunendlichen Reihe angehören, eine gänzlich verschiedene
Bedeutung, von dem Weglassen aus dem Grunde der relativen Kleinheit
derselben.[10] Die newtonsche Auflösung enthielt jenen Fehler, nicht
weil in ihr Glieder der Reihe, nur als Theile einer Summe, sondern weil
das Glied, das die qualitative Bestimmung, auf die es ankam, enthält,
nicht berücksichtigt wurde.
[10] In einfacher Weise finden sich bei Lagrange in der Anwendung der
Theorie der Funktionen auf die Mechanik, in dem Kapitel von der
geradlinigten Bewegung, beide Rücksichten neben einander gestellt
(Théorie des fonct. 3me P. Ch. I. art. 4.). Der durchloffene Raum als
Funktion der verflossenen Zeit betrachtet, giebt die Gleichung x = ft;
diese als f (t + ë) entwickelt giebt

ft + ëft + [ë'[hoch 2]]/2. f"t + u.s.w.

Also der während der Zeit durchloffene Raum stellt sich in der Formel
dar, ëft + [ë[hoch 2]]/2. f't + [ë[hoch 3]]/2.3. f"t + u.s.w. Die
Bewegung, vermittelst der dieser Raum durchloffen wird, ist also, wird
gesagt, d. h. weil die analytische Entwickelung mehrere und zwar
unendlich viele Glieder giebt,—zusammengesetzt aus verschiedenen
partiellen Bewegungen, deren der Zeit entsprechende Räume seyn werden
ëft, [ë[hoch 2]]/2. f"t, [ë[hoch 3]]/[2.3]. f"t, u.s.w. die erste
partielle Bewegung ist, in bekannter Bewegung die formell=gleichförmige
mit einer durch f't bestimmten Geschwindigkeit, die zweite die
gleichförmig beschleunigte, die von einer dem f't propertionirten
beschleunigenden Kraft herkommt. "Da nun die übrigen Glieder sich auf
keine einfache bekannte Bewegung beziehen, so ist nicht nöthig, sie
besonders in Rücksicht zu nehmen, und wir werden zeigen, daß man von
ihnen in der Bestimmung der Bewegung zu Anfang des Zeitpunkts
abstrahiren kann." Dieß wird nun gezeigt, aber freilich nur durch die
Vergleichung jener Reihe, deren Glieder alle zur Bestimmung der Größe
des in der Zeit durchloffenen Raumes gehörten, mit der art. 3 für die
Bewegung des Falls angegebenen Gleichung x = at + bt[hoch 2], als in
welcher nur diese zwei Glieder vorkommen. Aber diese Gleichung hat
selbst nur diese Gestalt, durch die Voraussetzung der Erklärung, die
den durch analytische Entwicklung entstehenden Gliedern gegeben wird,
erhalten; diese Voraussetzung ist, daß die gleichförmig beschleunigte
Bewegung zusammengesetzt sey, aus einer formell-gleichförmigen mit der
im vorhergehenden Zeittheile erlangten Geschwindigkeit fortgesetzten
Bewegung, und einem Zuwachse, (dem a in s = at[hoch 2] d.i. dem
empirischen Koefficienten), welcher der Kraft der Schwere zugeschrieben
wird,—einem Unterschiede, der keineswegs in der Natur der Sache irgend
eine Existenz oder Grund hat, sondern nur der fälschlich physikalisch
gemachte Ausdruck dessen ist, was bei einer angenommenen analytischen
Behandlung herauskommt.

In diesem Beispiele ist der qualitative Sinn dasjenige, wovon das
Verfahren abhängig gemacht ist. Im Zusammenhange hiermit kann sogleich
die allgemeine Behauptung aufgestellt werden, daß die ganze
Schwierigkeit des Princips beseitigt seyn würde, wenn statt des
Formalismus, die Bestimmung des Differentials nur in die ihm den Namen
gebende Aufgabe, den Unterschied überhaupt einer Funktion von ihrer
Veränderung, nachdem ihre veränderliche Größe einen Zuwachs erhalten,
zu stellen, die qualitative Bedeutung des Princips angegeben, und die
Operation hiervon abhängig gemacht wäre. In diesem Sinne zeigt sich das
Differential von x[hoch n], durch das erste Glied der Reihe, die durch
die Entwickelung von (x + dx)[hoch n] sich ergiebt, gänzlich erschöpft.
Daß die übrigen Glieder nicht berücksichtigt werden, kommt so nicht von
ihrer relativen Kleinheit her;—es wird dabei nicht eine Ungenauigkeit,
ein Fehler oder Irrthum vorausgesetzt, der durch einen anderen Irrthum
ausgeglichen und verbessert würde; eine Ansicht, von welcher aus Carnot
vornehmlich die gewöhnliche Methode der Infinitesimalrechnung
rechtfertigt. Indem es sich nicht um eine Summe, sondern um ein
Verhältniß handelt, so ist das Differential vollkommen durch das erste
Glied gefunden; und wo es fernerer Glieder, der Differentiale höherer
Ordnungen bedarf, so liegt in ihrer Bestimmung nicht die Fortsetzung
einer Reihe als Summe, sondern die Wiederholung eines und desselben
Verhältnisses, das man allein will, und das somit im ersten Glied
bereits vollkommen bestimmt ist. Das Bedürfniß der Form einer Reihe des
Summirens derselben und was damit zusammenhängt, muß dann ganz von
jenem Interesse des Verhältnisses getrennt werden.
Die Erläuterungen, welche Carnot über die Methode der unendlichen
Größen giebt, enthalten das Geläutertste und aufs Klarste exponirt, was
in den oben angeführten Vorstellungen vorkam. Aber bei dem Übergange
zur Operation selbst treten mehr oder weniger die gewöhnlichen
Vorstellungen, von der unendlichen Kleinheit der weggelassenen Glieder
gegen die andern ein. Er rechtfertigt die Methode vielmehr durch die
Thatsache, daß die Resultate richtig werden, und durch den Nutzen, den
die Einführung unvollkommner Gleichungen, wie er sie nennt, d. h.
solcher, in denen eine solche arithmetisch unrichtige Weglassung
geschehen ist, für die Vereinfachung und Abkürzung des Kalkuls habe,
als durch die Natur der Sache selbst.
Lagrange hat bekanntlich die ursprüngliche Methode Newtons, die Methode
der Reihen, wieder aufgenommen, um der Schwierigkeiten, welche die
Vorstellung des Unendlich-Kleinen, so wie derjenigen, welche die
Methode der ersten und letzten Verhältnisse und Grenzen mit sich führt,
überhoben zu seyn. Es ist von seinem Funktionen-Kalkul, dessen sonstige
Vorzüge in Rücksicht auf Präcision, Abstraktion und Allgemeinheit
anerkannt genug sind, als hierher gehörig nur dieß anzuführen, daß er
auf dem Fundamentalsatze beruht, daß die Differenz, ohne daß sie Null
werde, so klein angenommen werden könne, daß jedes Glied der Reihe die
Summe aller folgenden an Größe übertreffe.—Es wird auch in dieser
Methode von den Kategorien vom Zuwachs und von der Differenz der
Funktion angefangen, deren veränderliche Größe den Zuwachs erhalte,
womit die lästige Reihe hereinkommt, von der ursprünglichen Funktion;
so wie im Verfolg die wegzulassenden Glieder der Reihe nur in der
Rücksicht, daß sie eine Summe constituiren, in Betracht kommen, und der
Grund, sie wegzulassen, in das Relative ihres Quantums gesetzt wird.
Die Weglassung ist also hier auch nicht für das Allgemeine auf den
Gesichtspunkt zurückgeführt, der Theils in einigen Anwendungen
vorkommt, worin, wie vorhin erinnert, die Glieder der Reihe eine
bestimmte qualitative Bedeutung haben sollen und Glieder außer Acht
gelassen werden, nicht darum weil sie unbedeutend an Größe sind,
sondern weil sie unbedeutend der Qualität nach sind; Theils aber fällt
dann die Weglassung selbst in dem wesentlichen Gesichtspunkte hinweg,
der sich für den sogenannten Differential-Koefficienten erst in der
sogenannten Anwendung des Kalkuls bei Lagrange bestimmt heraushebt, was
in der folgenden Anmerkung ausführlicher auseinandergesetzt werden
wird.
Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden
Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird,
nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der
Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und
deren Durchführung im Kalkul zu einer eigenthümlichen Methode
gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urtheilt, daß
sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze
keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier
aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung
aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die
angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung
der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx
und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und
dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden.
Daß hiermit für den Mechanismus des Kalkuls besonders in seiner
Anwendung der Vortheil verloren geht, den er davon zieht, daß die
Seiten des Differential-Koefficienten von einander abgesondert werden,
ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer
gegebenen Funktion seyn;—sie soll einen gewissen Werth in Beziehung auf
dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit
der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit
dem, um das es in dieser Anm. zu thun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen,
daß das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy
vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen,
nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge,
ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der
qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnißmoments
als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältniß
zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in
die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von