Wissenschaft der Logik — Band 1 - 20

ein für sich Gleichgültiges; es ist, in der Unendlichkeit als
Fürsichseyn, indem es zugleich eine quantitative Bestimmtheit ist, nur
als ein Für-Eines.
Der Begriff des Unendlichen, wie er sich hier abstrakt exponirt hat,
wird sich zeigen, dem mathematischen Unendlichen zu Grunde liegen, und
er selbst wird deutlicher werden, indem wir die verschiedenen Stufen
des Ausdrucks des Quantums als eines Verhältniß-Moments betrachten, von
der untersten an, wo es noch zugleich Quantum als solches ist, bis zu
der höhern, wo es die Bedeutung und den Ausdruck eigentlicher
unendlicher Größe erhält.
Nehmen wir also zuerst das Quantum in dem Verhältnisse, wie es eine
gebrochene Zahl ist. Solcher Bruch 2/7 z.B. ist nicht ein Quantum wie
1, 2, 3 u.s.f., zwar eine gewöhnliche endliche Zahl, jedoch nicht eine
unmittelbare, wie die ganzen Zahlen, sondern als Bruch mittelbar
bestimmt durch zwei andere Zahlen, die Anzahl und Einheit gegeneinander
sind, wobei auch die Einheit eine bestimmte Anzahl ist. Aber von dieser
nähern Bestimmung derselben gegeneinander abstrahirt, und sie bloß nach
dem, was ihnen in der qualitativen Beziehung, in der sie hier sind, als
Quantis widerfährt, betrachtet, so sind 2 und 7 sonst gleichgültige
Quanta; indem sie aber hier nur als Momente, eines des andern, und
damit eines Dritten (des Quantums, das der Exponent heißt) auftreten,
so gelten sie sogleich nicht als 2 und 7, sondern nur nach ihrer
Bestimmtheit gegeneinander. Statt ihrer kann darum eben so gut 4 und
14, oder 6 und 21 u.s.f. ins Unendliche gesetzt werden. Hiermit fangen
sie also an, einen qualitativen Charakter zu haben. Gälten sie als
bloße Quanta, so ist 2 und 7, schlechthin das eine nur 2, das andere
nur 7; 4, 14, 6, 21 u.s.f. sind schlechthin etwas Anderes als jene
Zahlen, und können insofern sie nur unmittelbare Quanta wären, die
einen nicht an die Stelle der anderen gesetzt werden. Insofern aber und
nicht nach der Bestimmtheit, solche Quanta zu seyn, gelten, so ist ihre
gleichgültige Grenze aufgehoben; sie haben somit, nach dieser Seite,
das Moment der Unendlichkeit an ihnen, indem sie nicht bloß eben nicht
mehr sie sind, sondern ihre quantitative Bestimmtheit, aber als eine an
sich seyende qualitative,—nämlich nach dem, was sie im Verhältnisse
gelten,—bleibt. Es können unendlich viele andere an ihre Stelle gesetzt
werden, so daß der Werth des Bruches durch, die Bestimmtheit, welche
das Verhältniß hat, sich nicht ändert.
Die Darstellung, welche die Unendlichkeit an einem Zahlenbruche hat,
ist aber darum noch unvollkommen, weil die beiden Seiten des Bruchs, 2
und 7, aus dem Verhältnisse genommen werden können, und gewöhnliche
gleichgültige Quanta sind; die Beziehung derselben, im Verhältnisse und
Momente zu seyn, ist ihnen etwas Äußerliches und Gleichgültiges. Ebenso
ist ihre Beziehung selbst ein gewöhnliches Quantum, der Exponent des
Verhältnisses.
Die Buchstaben, mit denen in der allgemeinen Arithmetik operirt wird,
die nächste Allgemeinheit, in welche die Zahlen erhoben werden, haben
die Eigenschaft nicht, daß sie von einem bestimmten Zahlenwerth sind;
sie sind nur allgemeine Zeichen und unbestimmte Möglichkeiten jedes
bestimmten Werthes. Der Bruch a/b scheint daher ein passenderer
Ausdruck des Unendlichen zu seyn, weil a und b aus ihrer Beziehung
aufeinander genommen, unbestimmt bleiben, und auch getrennt keinen
besonderen eigenthümlichen Werth haben.—Allein diese Buchstaben sind
zwar als unbestimmte Größen gesetzt; ihr Sinn aber ist, daß sie irgend
ein endliches Quantum seyen. Da sie also zwar die allgemeine
Vorstellung, aber nur von der bestimmten Zahl sind, so ist es ihnen
ebenfalls gleichgültig, im Verhältnisse zu seyn, und außer demselben
behalten sie diesen Werth.
Betrachten wir noch näher, was im Verhältnisse vorhanden ist, so hat es
die beiden Bestimmungen an ihm, erstlich ein Quantum zu seyn, dieses
aber ist zweitens nicht als ein unmittelbares, sondern das den
qualitativen Gegensatz an ihm hat; es bleibt in demselben zugleich
jenes bestimmte, gleichgültige Quantum dadurch, daß es aus seinem
Andersseyn, dem Gegensatze, in sich zurückgekehrt, somit auch ein
Unendliches ist. Diese beiden Bestimmungen stellen sich in der
folgenden bekannten Form, in ihrem Unterschiede von einander entwickelt
dar.
Der Bruch 2/7 kann ausgedrückt werden als 0,285714…als 1 + a + a[hoch2]
+ a[hoch3] u.s.f. So ist er als eine unendliche Reihe; der Bruch selbst
heißt die Summe oder der endliche Ausdruck derselben. Vergleichen wir
die beiden Ausdrücke, so stellt der eine, die unendliche Reihe, ihn
nicht mehr als Verhältniß, sondern nach der Seite dar, daß er ein
Quantum ist als eine Menge von solchen, die zu einander hinzukommen,
als eine Anzahl.—Daß die Größen, die ihn als Anzahl ausmachen sollen,
wieder aus Decimalbrüchen, also selbst aus Verhältnissen bestehen,
darauf kommt es hier nicht an; denn dieser Umstand betrifft die
besondere Art der Einheit dieser Größen, nicht sie, insofern sie die
Anzahl constituiren; wie auch eine aus mehreren Ziffern bestehende
ganze Zahl des Decimalsystems wesentlich als eine Anzahl gilt, und
nicht darauf gesehen wird, daß sie aus Produkten einer Zahl und der
Zahl Zehen und deren Potenzen besteht. So wie es hier auch nicht darauf
ankommt, daß es andere Brüche giebt als der z. B. genommene 2/7, die zu
Dezimalbrüchen gemacht, nicht eine unendliche Reihe geben; jeder aber
kann für ein Zahlensystem von anderer Einheit als eine solche
ausgedrückt werden.
Indem nun in der unendlichen Reihe, die den Bruch als Anzahl darstellen
soll, die Seite, daß er Verhältniß ist, verschwindet, so verschwindet
auch die Seite, nach welcher er, wie vorhin gezeigt, die Unendlichkeit
an ihm hatte. Diese aber ist auf eine andere Weise hereingekommen; die
Reihe ist nämlich selbst unendlich.
Von welcher Art nun die Unendlichkeit der Reihe sey, erhellt von
selbst; es ist die schlechte Unendlichkeit des Progresses. Die Reihe
enthält und stellt den Widerspruch dar, etwas, das ein Verhältniß ist
und qualitative Natur in ihm hat, als ein Verhältnißloses, als ein
bloßes Quantum, als Anzahl, darzustellen. Die Folge davon ist, daß an
der Anzahl, die in der Reihe ausgedrückt ist, immer etwas fehlt, so daß
über das, was gesetzt ist, immer hinausgegangen werden muß, um die
geforderte Bestimmtheit zu erreichen. Das Gesetz des Fortgangs ist
bekannt, es liegt in der Bestimmung des Quantums, die im Bruche
enthalten ist, und in der Natur der Form, in der sie ausgedrückt werden
soll. Die Anzahl kann wohl durch Fortsetzung der Reihe so genau gemacht
werden, als man nöthig hat; aber immer bleibt die Darstellung durch sie
nur ein Sollen; sie ist mit einem Jenseits behaftet, das nicht
aufgehoben werden kann, weil ein auf qualitativer Bestimmtheit
beruhendes als Anzahl auszudrücken der bleibende Widerspruch ist.
In dieser unendlichen Reihe ist jene Ungenauigkeit wirklich vorhanden,
von der am wahrhaften mathematischen Unendlichen nur der Schein
vorkommt. Diese beiden Arten des mathematischen Unendlichen sind so
wenig zu verwechseln, als die beiden Arten des philosophischen
Unendlichen. Bei der Darstellung des wahrhaften mathematischen
Unendlichen ist anfangs die Form der Reihe gebraucht oder auch
neuerlich wieder hervorgerufen worden. Aber sie ist für dasselbe nicht
nothwendig; im Gegentheil ist das Unendliche der unendlichen Reihe
wesentlich von jenem unterschieden, wie die Folge zeigen soll. Diese
vielmehr steht sogar dem Ausdrucke des Bruches nach.
Die unendliche Reihe enthält nämlich die schlechte Unendlichkeit, weil
das, was die Reihe ausdrücken soll, ein Sollen bleibt; und was sie
ausdrückt, mit einem Jenseits, das nicht verschwindet, behaftet und
verschieden von dem ist, was ausgedrückt werden soll. Sie ist unendlich
nicht um der Glieder willen, die gesetzt sind, sondern darum, weil sie
unvollständig sind, weil das Andere, das zu ihnen wesentlich gehört,
jenseits ihrer ist; was in ihr da ist, der gesetzten Glieder mögen so
viele seyn als wollen, ist nur ein Endliches, im eigentlichen Sinne,
gesetzt als Endliches, d. i. als solches, das nicht ist, was es seyn
soll. Dagegen ist aber das, was der endliche Ausdruck, oder die Summe
solcher Reihe genannt wird, ohne Mangel; er enthält den Werth, den die
Reihe nur sucht, vollständig; das Jenseits ist aus der Flucht
zurückgerufen; was er ist, und was er seyn soll, ist nicht getrennt,
sondern ist dasselbe.
Das beide Unterscheidende liegt näher sogleich darin, daß in der
unendlichen Reihe das Negative außerhalb ihrer Glieder ist, welche
Gegenwart haben, indem sie nur als Theile der Anzahl gelten. In dem
endlichen Ausdrucke dagegen, der ein Verhältniß ist, ist das Negative
immanent, als das Bestimmtseyn der Seiten des Verhältnisses
durcheinander, welches ein in sich Zurückgekehrtseyn, sich auf sich
beziehende Einheit, als Negation der Negation (beide Seiten des
Verhältnisses sind nur als Momente), ist, hiermit die Bestimmung der
Unendlichkeit in sich hat.—Zu der That ist also die gewöhnlich
sogenannte Summe, das 2/7 oder 1/1-a', ein Verhältniß; und dieser
sogenannte endliche Ausdruck ist der wahrhaft unendliche Ausdruck. Die
unendliche Reihe dagegen ist in Wahrheit Summe; ihr Zweck ist, das was
an sich Verhältniß ist, in der Form einer Summe darzustellen, und die
vorhandenen Glieder der Reihe sind nicht als Glieder eines
Verhältnisses, sondern eines Aggregats. Sie ist ferner vielmehr der
endliche Ausdruck; denn sie ist das unvollkommene Aggregat, und bleibt
wesentlich ein Mangelhaftes. Sie ist nach dem, was in ihr da ist, ein
bestimmtes Quantum, zugleich aber ein geringeres, als sie seyn soll;
alsdann auch das, was ihr fehlt, ist ein bestimmtes Quantum; dieser
fehlende Theil ist in der That das, was das Unendliche an der Reihe
heißt, nach der nur formellen Seite, daß er ein Fehlendes, ein
Nichtseyn ist; nach seinem Inhalte ist er ein endliches Quantum. Das
was in der Reihe da ist, zusammen mit dem was ihr fehlt, macht erst das
aus, was der Bruch ist, das bestimmte Quantum, das sie gleichfalls seyn
soll, aber zu seyn nicht vermag. —Das Wort: Unendlich, pflegt, auch in
der unendlichen Reihe, in der Meinung etwas Hohes und Hehres zu seyn;
es ist dieß eine Art von Aberglauben, der Aberglaube des Verstands; man
hat gesehen, wie es sich vielmehr auf die Bestimmung der
Mangelhaftigkeit reducirt.
Daß es, kann noch bemerkt werden, unendliche Reihen giebt, die nicht
summirbar sind, ist in Bezug auf die Form von Reihe überhaupt ein
äußerlicher und zufälliger Umstand. Sie enthalten eine höhere Art der
Unendlichkeit, als die summirbaren; nämlich eine Incommensurabilität,
oder die Unmöglichkeit, das darin enthaltene quantitative Verhältniß
als ein Quantum, sey es auch als Bruch, darzustellen; die Form der
Reihe aber als solche, die sie haben, enthält dieselbe Bestimmung der
schlechten Unendlichkeit, welche in der summirbaren Reihe ist.
Die so eben am Bruche und an seiner Reihe bemerkte Verkehrung in
Ansehung des Ausdrucks findet auch Statt, insofern das mathematische
Unendliche nämlich nicht das so eben genannte sondern das wahrhafte,
das relative Unendliche,—das gewöhnliche metaphysische dagegen,
worunter das abstrakte, schlechte Unendliche verstanden wird, das
absolute genannt worden ist. In der That ist vielmehr dieses
metaphysische nur das relative, weil die Negation, die es ausdrückt,
nur so im Gegensatze einer Grenze ist, daß diese außer ihm bestehen
bleibt, und von ihm nicht aufgehoben wird; das mathematische Unendliche
hingegen hat die endliche Grenze wahrhaft in sich aufgehoben, weil das
Jenseits derselben mit ihr vereinigt ist.
In dem Sinne, in welchem aufgezeigt worden, daß die sogenannte Summe
oder der endliche Ausdruck einer unendlichen Reihe, vielmehr als der
unendliche anzusehen ist, ist es vornehmlich, daß Spinoza den Begriff
der wahren Unendlichkeit gegen den der schlechten aufstellt und durch
Beispiele erläutert. Sein Begriff gewinnt am neisten Licht, indem ich
das, was er hierüber sagt, an diese Entwickelung anschließe.
Er definirt zunächst das Unendliche als die absolute Affirmation der
Existenz irgend einer Natur, das Endliche im Gegentheil als
Bestimmtheit, als Verneinung. Die absolute Affirmation einer Existenz
ist nämlich als ihre Beziehung auf sich selbst zu nehmen, nicht dadurch
zu seyn, daß ein Anderes ist; das Endliche hingegen ist die Verneinung,
ein Aufhören als Beziehung auf ein Anderes, das außer ihm anfängt. Die
absolute Affirmation einer Existenz erschöpft nun zwar den Begriff der
Unendlichkeit nicht; dieser enthält, daß die Unendlichkeit Affirmation
ist, nicht als unmittelbare, sondern nur als wiederhergestellte durch
die Reflexion des Anderen in sich selbst, oder als Negation des
Negativen. Aber bei Spinoza hat die Substanz und deren absolute Einheit
die Form von unbewegter d. i. nicht sich mit sich selbst vermittelnder
Einheit, von einer Starrheit, worin der Begriff der negativen Einheit
des Selbst, die Subjektivität, sich noch nicht findet.
Das mathematische Beispiel, womit er das wahre Unendliche (Epist.
XXIX.) erläutert, ist ein Raum zwischen zwei ungleichen Kreisen, deren
einer innerhalb des andern, ohne ihn zu berühren, fällt, und die nicht
koncentrisch sind. Er machte, wie es scheint, sich viel aus dieser
Figur und dem Begriffe als deren Beispiel er sie gebrauchte, daß er sie
zum Motto seiner Ethik machte.—"Die Mathematiker, sagt er, schließen,
daß die Ungleichheiten, die in einem solchen Raume möglich sind,
unendlich sind, nicht aus der unendlichen Menge der Theile, denn seine
Größe ist bestimmt und begrenzt, und ich kann größere und kleinere
solche Räume setzen, sondern weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit
übertrift."—Man sieht, Spinoza verwirftjene Vorstellung vom
Unendlichen, nach welcher es als Menge oder als Reihe vorgestellt wird,
die nicht vollendet ist, und erinnert, daß hier an dem Raume des
Beispiels das Unendliche nichtjenseits, sondern gegenwärtig und
vollständig ist; dieser Raum ist ein Begrenztes, aber darum ein
Unendliches, "weil die Natur der Sache jede Bestimmtheit übersteigt,"
weil die darin enthaltene Größenbestimmung zugleich nicht als ein
Quantum darstellbar ist, oder nach obigem kantischen Ausdruck das
Synthesiren nicht zu einem—diskreten—Quantum vollendet werden kann.—Wie
überhaupt der Gegensatz von kontinuirlichem und diskretem Quantum auf
das Unendliche führt, soll in einer spätern Anmerkung auseinander
gesetzt werden.—Jenes Unendliche einer Reihe nennt Spinoza das
Unendliche der Imagination; das Unendliche hingegen als Beziehung auf
sich selbst, das Unendliche des Denkens oder infinitum actu. Es ist
nämlich actu, es ist wirklich unendlich, weil es in sich vollendet und
gegenwärtig ist. So ist die Reihe, 0,285714… oder 1 + a + a[hoch 2] +
a[hoch 3]… das Unendliche bloß der Einbildung oder des Meinens; denn es
hat keine Wirklichkeit, es fehlt ihm schlechthin etwas; hingegen 2/7
oder 1/1-a ist das wirklich, nicht nur was die Reihe in ihren
vorhandenen Gliedern ist, sondern noch das dazu, was ihr mangelt, was
sie nur seyn soll. Das 2/7 oder 1/1-a ist gleichfalls eine endliche
Größe, wie der zwischen den zwei Kreisen eingeschlossene Raum Spinoza's
und dessen Ungleichheiten; und kann wie dieser Raum größer oder kleiner
gemacht werden. Aber es kommt damit nicht die Ungereimtheit eines
größern oder kleinern Unendlichen heraus; denn dieß Quantum des Ganzen,
geht das Verhältniß seiner Momente, die Natur der Sache d. h. die
qualitative Größenbestimmung, nichts an; das was in der unendlichen
Reihe da ist, ist ebenso ein endliches Quantum, aber außerdem noch ein
Mangelhaftes.—Die Einbildung dagegen bleibt beim Quantum als solchem
stehen, und reflektirt nicht auf die qualitative Beziehung, welche den
Grund der vorhandenen Inkommensurabilität ausmacht.
Die Inkommensurabilität, welche in dem Beispiel Spinoza's liegt,
schließt überhaupt die Funktionen krummer Linien in sich, und führt
näher auf das Unendliche, das die Mathematik bei solchen Funktionen,
überhaupt bei den Funktionen veränderlicher Größen eingeführt hat, und
welches das wahrhafte mathematische, quantitative Unendliche ist, das
auch Spinoza sich dachte. Diese Bestimmung soll nun hier näher erörtert
werden.
Was vors erste die für so wichtig geltende Kategorie der
Veränderlichkeit betrifft, unter welche die in jenen Funktionen
bezogenen Größen gefaßt werden, so sollen sie zunächst veränderlich
nicht in dem Sinne seyn, wie im Bruche 2/7 die beiden Zahlen 2 und 7,
indem eben so sehr 4 und 14, 6 und 21 und so fort ins Unendliche andere
Zahlen an ihre Stelle gesetzt werden können, ohne den im Bruche
gesetzten Werth zu ändern. So kann noch mehr in a/b an die Stelle von a
und b jede beliebige Zahl gesetzt werden, ohne das zu ändern was a/b
ausdrücken soll. In dem Sinne nur, daß auch an die Stelle von x und y
einer Funktion eine unendliche d. h. unerschöpfliche Menge von Zahlen
gesetzt werden könne, sind a und b so sehr veränderliche Größe als
jene, x und y. Der Ausdruck: veränderliche Größen, ist darum sehr vage,
und unglücklich gewählt für Größebestimmungen, die ihr Interesse und
Behandlungsart in etwas in etwas ganz Anderem liegen haben, als in
ihrer bloßen Veränderlichkeit.
Um es deutlich zu machen, worin die wahrhafte Bestimmung der Momente
einer Funktion liegt, mit denen sich das Interesse der höhern Analysis
beschäftigt, müssen wir die bemerklich gemachten Stufen noch einmal
durchlaufen. In 2/7 oder a/b sind 2 und 7 jedes für sich, bestimmte
Quanta und die Beziehung ist ihnen nicht wesentlich; a und b soll
gleichfalls solche Quanta vorstellen, die auch außer dem Verhältnisse
bleiben, was sie sind. Ferner ist auch 2/7 und a/b ein fixes Quantum,
ein Quotient; das Verhältniß macht eine Anzahl aus, deren Einheit der
Nenner, und die Anzahl dieser Einheiten der Zähler—oder umgekehrt
ausdrückt; wenn auch 4 und 14 u.s.f. an die Stelle von 2 und 7 treten,
bleibt das Verhältniß auch als Quantum dasselbe. Dieß verändert sich
nun aber wesentlich in der Funktion y[hoch 2]/x = p z.B.; hier haben x
und y zwar den Sinn, bestimmte Quanta seyn zu können; aber nicht x und
y, sondern nur x und y[hoch 2] haben einen bestimmten Quotienten.
Dadurch sind diese Seiten des Verhältnisses, x und y, erstens nicht nur
keine bestimmten Quanta, sondern zweitens ihr Verhältniß ist nicht ein
fixes Quantum, (noch ist dabei ein solches wie bei a und b gemeint),
nicht ein fester Quotient, sondern er ist als Quantum schlechthin
veränderlich. Dieß aber ist allein darin enthalten, daß x nicht zu y
ein Verhältniß hat, sondern zum Quadrate von y. Das Verhältniß einer
Größe zur Potenz ist nicht ein Quantum, sondern wesentlich qualitatives
Verhältniß; das Potenzenverhältniß ist der Umstand, der als
Grundbestimmung anzusehen ist.—In der Function der geraden Linie y = a
x aber, ist x/y = a ein gewöhnlicher Bruch und Quotient; diese Funktion
ist daher nur formell eine Funktion von veränderlichen Größen, oder x
und y sind hier was a und b in a/b, sie sind nicht in derjenigen
Bestimmung, in welcher die Differential- und Integralrechnung sie
betrachtet.—Wegen der besondern Natur der veränderlichen Größen in
dieser Betrachtungsweise, wäre es zweckmäßig gewesen, für sie sowohl
einen besonderen Namen, als andere Bezeichnungen einzuführen, als die
gewöhnlichen der unbekannten Größen in jeder endlichen, bestimmten oder
unbestimmten Gleichung; um ihrer wesentlichen Verschiedenheit willen
von solchen bloß unbekannten Größen, die an sich vollkommen bestimmte
Quanta, oder ein bestimmter Umfang von bestimmten Quantis sind.—Es ist
auch nur der Mangel des Bewußtseyns, über die Eigenthümlichkeit dessen,
was das Interesse der höheren Analysis ausmacht und das Bedürfniß und
die Erfindung des Differential-Kalkuls herbeigeführt hat, daß
Funktionen des ersten Grades wie die Gleichung der geraden Linie in die
Behandlung dieses Kalkuls für sich mit hereingenommen werden; seinen
Antheil an solchem Formalismus hat ferner der Mißverstand, der die an
sich richtige Forderung der Verallgemeinerung einer Methode dadurch zu
erfüllen meint, daß die specifische Bestimmtheit, auf
die sich das Bedürfniß gründet, weggelassen wird, daß es dafür gilt,
als ob es sich in diesem Felde nur um veränderliche Größen überhaupt
handle. Es wäre wohl viel Formalismus in den Betrachtungen dieser
Gegenstände wie in der Behandlung erspart worden, wenn man eingesehen
hätte, daß derselbe nicht veränderliche Größen als solche, sondern
Potenzenbestimmungen betreffe.
Aber es ist noch eine weitere Stufe, auf der das mathematische
Unendliche in seiner Eigenthümlichkeit hervortritt. In einer Gleichung,
worin x und y zunächst als durch ein Potenzenverhältniß bestimmt,
gesetzt sind, sollen x und y als solche noch Quanta bedeuten; diese
Bedeutung nun geht vollends in den sogenannten unendlich kleinen
Differenzen gänzlich verloren. d x, d y sind keine Quanta mehr, noch
sollen sie solche bedeuten, sondern haben allein in ihrer Beziehung
eine Bedeutung, einen Sinn blos als Momente. Sie sind nicht mehr Etwas,
das Etwas als Quantum genommen, nicht endliche Differenzen; aber auch
nicht Nichts, nicht die bestimmungslose Null. Außer ihrem Verhältnisse
sind sie reine Nullen, aber sie sollen nur als Momente des
Verhältnisses, als Bestimmungen des Differential-Koefficienten d x/ d y
genommen werden.
In diesem Begriff des Unendlichen ist das Quantum wahrhaft zu einem
qualitativen Daseyn vollendet; es ist als wirklich unendlich gesetzt;
es ist nicht nur als dieses oder jenes Quantum aufgehoben, sondern als
Quantum überhaupt. Es bleibt aber die Quantitätsbestimmtheit als
Element von Quantis, Princip, oder sie wie man auch gesagt hat, in
ihrem ersten Begriffe.
Gegen diesen Begriff ist aller Angriff gerichtet, der auf die
Grundbestimmung der Mathematik dieses Unendlichen, der Differentialund
Integralrechnung, gemacht worden ist. Unrichtige Vorstellungen der
Mathematiker selbst veranlaßten es, wenn er nicht anerkannt worden ist;
vornehmlich aber ist die Unvermögenheit, den Gegenstand als Begriff zu
rechtfertigen, Schuld an diesen Anfechtungen. Den Begriff kann aber die
Mathematik, wie oben erinnert worden, hier nicht umgehen; denn als
Mathematik des Unendlichen schränkt sie sich nicht auf die endliche
Bestimmtheit ihrer Gegenstände ein,—wie in der reinen Mathematik der
Raum und die Zahl und deren Bestimmungen nur nach ihrer Endlichkeit
betrachtet und auf einander bezogen werden—; sondern sie versetzt eine
von daher aufgenommene und von ihr behandelte Bestimmung in Identität
mit ihrer entgegengesetzten, wie sie z.B. eine krumme Linie zu einer
geraden, den Kreis zu einem Polygon u.s.f. macht. Die Operationen, die
sie sich als Differential- und Integralrechnung erlaubt, sind daher der
Natur bloß endlicher Bestimmungen und deren Beziehungen gänzlich
widersprechend und hätten darum ihre Rechtfertigung allein in dem
Begriff.
Wenn die Mathematik des Unendlichen daran festhielt, daß jene
Quantitäts-Bestimmungen verschwindende Größen d. h. solche, die nicht
mehr irgend ein Quantum, aber auch nicht Nichts, sondern noch eine
Bestimmtheit gegen Anderes sind, so schien nichts klarer, als daß es
keinen solchen Mittelzustand, wie man es nannte, zwischen Seyn und
Nichts gebe.—Was es mit diesem Einwurfe und sogenannten Mittelzustande
auf sich habe, ist oben bereits bei der Kategorie des Werdens, Anmerk.
4. gezeigt. Allerdings ist die Einheit des Seyns und Nichts kein
Zustand; ein Zustand wäre eine Bestimmung des Seyns und Nichts, worein
diese Momente nur etwa zufälligerweise gleichsam als in eine Krankheit
oder äußerliche Affektion durch ein irrthümliches Denken gerathen
sollten; sondern diese Mitte und Einheit, das Verschwinden oder eben so
das Werden, ist vielmehr allein ihre Wahrheit.
Was unendlich sey, ist ferner gesagt worden, sey nicht vergleichbar als
ein Größeres oder Kleineres; es könne daher nicht ein Verhältniß von
Unendlichen zu Unendlichen, noch Ordnungen oder Dignitäten des
Unendlichen geben, als welche Unterschiede der unendlichen Differenzen
in der Wissenschaft derselben vorkommen.—Es liegt bei diesem schon
erwähnten Einwurfe immer die Vorstellung zu Grunde, daß hier von
Quantis die Rede seyn solle, die als Quanta verglichen werden; daß
Bestimmungen, die keine Quanta mehr sind, kein Verhältniß mehr zu
einander haben. Vielmehr ist aber das, was nur im Verhältniß ist, kein
Quantum; das Quantum ist eine solche Bestimmung, die außer ihrem
Verhältniß ein vollkommen gleichgültiges Daseyn haben, der ihr
Unterschied von einem anderen gleichgültig seyn soll, da hingegen das
qualitative nur das ist, was es in seinem Unterschiede von dnem Anderen
ist. Jene unendlichen Größen sind daher nicht nur vergleichbar, sondern
sind nur als Momente der Vergleichung, des Verhältnisses.
Ich führe die wichtigsten Bestimmungen an, welche in der Mathematik
über dieß Unendliche gegeben worden sind; es wird daraus erhellen, daß
denselben der Gedanke der Sache, übereinstimmend mit dem hier
entwickelten Begriffe, zu Grunde liegt, daß ihre Urheber ihn aber als
Begriff nicht ergründeten und bei der Anwendung wieder Auskunftsmittel
nöthig hatten, welche ihrer besseren Sache widersprechen.
Der Gedanke kann nicht richtiger bestimmt werden, als Newton ihn
gegeben hat. Ich trenne dabei die Bestimmungen ab, die der Vorstellung
der Bewegung und der Geschwindigkeit angehören, (von welcher er
vornehmlich den Namen Fluxionen nahm), weil der Gedanke hierin nicht in
der gehörigen Abstraktion, sondern konkret, vermischt mit
außerwesentlichen Formen erscheint. Diese Fluxionen erklärt Newton
(Princ. mathem. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.) dahin, daß er nicht
untheilbare—eine Form, deren sich frühere Mathematiker, Cavalleri und
andere, bedienten, und welche den Begriff eines an sich bestimmten
Quantums enthält,—verstehe, sondern verschwindende Theilbare. Ferner
nicht Summen und Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die Grenzen
(limites) der Summen, und Verhältnisse. Es werde die Einwendung
gemacht, daß verschwindende Größen kein letztes Verhältniß haben, weil
es, ehe sie verschwunden, nicht das Letzte, und wenn sie verschwunden,
keines mehr ist. Aber unter dem Verhältnisse verschwindender Größen sey
das Verhältniß zu verstehen, nicht eh sie verschwinden, und nicht
nachher, sondern mit dem sie verschwinden ( quacum evanescunt ). Eben
so ist das erste Verhältniß werdender Größen, das mit dem sie werden.
Nach dem damaligen Stande der wissenschaftlichen Methode wurde nur
erklärt, was unter einem Ausdrucke zu verstehen sey; daß aber dieß oder
jenes darunter zu verstehen sey, ist eigentlich eine subjektive
Zumuthung oder auch eine historische Forderung, wobei nicht gezeigt
wird, daß ein solcher Begriff an und für sich nothwendig ist und innere
Wahrheit hat. Allein das Angeführte zeigt, daß der von Newton
aufgestellte Begriff dem entspricht, wie die unendliche Größe sich in
der obigen Darstellung aus der Reflexion des Quantums in sich ergab. Es
sind Größen verstanden, in ihrem Verschwinden, d. h. die nicht mehr
Quanta sind; ferner nicht Verhältnisse bestimmter Theile, sondern die
Grenzen des Verhältnisses. Es sollen also sowohl die Quanta für sich,
die Seiten des Verhältnisses, als damit auch das Verhältniß, insofern
es ein Quantum wäre, verschwinden; die Grenze des Größen-Verhältnisses
ist, worin es ist und nicht ist; dieß heißt genauer, worin das Quantum
verschwunden, und damit das Verhältniß nur als qualitatives
Quantitäts-Verhältniß, und die Seiten desselben ebenso als qualitative
Quantitäts-Momente erhalten sind.—Newton fügt hinzu, daß daraus, daß es
letzte Verhältnisse der verschwindenden Größen gebe, nicht zu schließen
sey, daß es letzte Größen, Untheilbare, gebe. Dieß wäre nämlich wieder
ein Absprung von dem abstrakten Verhältnisse auf solche Seiten
desselben, welche für sich außer ihrer Beziehung einen Werth haben
sollten, als Untheilbare, als etwas, das ein Eins, ein Verhältnißloses
seyn würde.
Gegen jenen Mißverstand erinnert er noch, daß die letzten Verhältnisse
nicht Verhältnisse letzter Größen seyen, sondern Grenzen, denen die
Verhältnisse der ohne Grenze abnehmenden Größen näher sind als jeder
gegebene d. h. endliche Unterschied, welche Grenze sie aber nicht
überschreiten, so daß sie Nichts würden.—Unter letzten Größen hätten