Wissenschaft der Logik — Band 1 - 16

Quantität ist überhaupt nicht ein unmittelbares; die Unmittelbarkeit
ist eine Bestimmtheit, deren Aufgehobenseyn sie selbst ist. Sie ist
also in der ihr immanenten Bestimmtheit zu setzen, diese ist das Eins.
Die Quantität ist diskrete Größe.
Die Diskretion ist, wie die Kontinuität, Moment der Quantität, aber ist
selbst auch die ganze Quantität, eben weil sie Moment in ihr, dem
Ganzen ist, also als unterschieden nicht aus demselben, nicht aus ihrer
Einheit mit dem anderen Momente heraustritt.—Die Quantität ist
Außereinanderseyn an sich, und die kontinuirliche Größe ist dieß
Außereinanderseyn, als sich ohne Negation fortsetzend, als ein in sich
selbst gleicher Zusammenhang. Die diskrete Größe aber ist dieß
Außereinander als nicht kontinuirlich, als unterbrochen. Mit dieser
Menge von Eins ist jedoch nicht die Menge des Atomen und das Leere, die
Repulsion überhaupt, wieder vorhanden. Weil die diskrete Größe
Quantität ist, ist ihre Diskretion selbst kontinuirlich. Diese
Kontinuität am Diskreten besteht darin, daß die Eins das einander
Gleiche sind, oder daß sie dieselbe Einheit haben. Die diskrete Größe
ist also das Außereinander des vielen Eins, als des Gleichen, nicht das
viele Eins überhaupt, sondern als das Viele einer Einheit gesetzt.
Anmerkung.
In gewöhnlichen Vorstellungen von kontinuirlicher und diskreter Größe
wird es übersehen, daß jede dieser Größen beide Momente, sowohl die
Kontinuität als die Diskretion, an ihr hat, und ihr Unterschied nur
dadurch konstituirt wird, welches von beiden Momenten die gesetzte
Bestimmtheit und welche nur die an-sich-seyende ist. Raum, Zeit,
Materie u.s.f. sind stätige Größen, indem sie Repulsionen von sich
selbst, ein strömendes Außersichkommen sind, das zugleich nicht ein
Übergehen oder Verhalten zu einem qualitativ-Andern ist. Sie haben die
absolute Möglichkeit, daß das Eins allenthalben an ihnen gesetzt werde;
nicht als die leere Möglichkeit eines bloßen Andersseyns (wie man sagt,
es wäre möglich, daß an der Stelle dieses Steines ein Baum stünde)
sondern sie enthalten das Princip des Eins an ihnen selbst, es ist die
eine der Bestimmungen, von denen sie konstituirt sind.
Umgekehrt ist an der diskreten Größe die Kontinuität nicht zu
übersehen; dieß Moment ist, wie gezeigt, das Eins als Einheit.
Die kontinuirliche und diskrete Größe können als Arten der Quantität
betrachtet werden, aber insofern die Größe nicht unter irgend einer
äußerlichen Bestimmtheit gesetzt ist, sondern unter den Bestimmtheiten
ihrer eigenen Momente; der gewöhnliche Übergang von Gattung zu Art läßt
an jene nach irgend einem ihr äußerlichen Eintheilungsgrunde äußerliche
Bestimmungen kommen. Dabei sind die kontinuirliche und diskrete Größe
noch keine Quanta; sie sind nur die Quantität selbst in einer jeden
ihrer beiden Formen. Sie werden etwa Größen genannt, insofern sie mit
dem Quantum dieß überhaupt gemein haben, eine Bestimmtheit an der
Quantität zu seyn.
C. Begrenzung der Quantität.
Die diskrete Größe hat erstlich das Eins zum Princip und ist zweitens
Vielheit der Eins, drittens ist sie wesentlich stätig, sie ist das Eins
zugleich als Aufgehobenes, als Einheit, das Sich-kontinuiren als
solches in der Diskretion der Eins. Sie ist daher als Eine Größe
gesetzt, und die Bestimmtheit derselben ist das Eins, das an diesem
Gesetztseyn und Daseyn ausschließendes Eins, Grenze an der Einheit ist.
Die diskrete Größe als solche soll unmittelbar nicht begrenzt seyn;
aber als unterschieden von der kontinuirlichen ist sie als ein Daseyn
und ein Etwas, dessen Bestimmtheit das Eins und als in einem Daseyn
auch erste Negation und Grenze ist.
Diese Grenze, außer dem, daß sie auf die Einheit bezogen und die
Negation an derselben ist, ist als Eins auch auf sich bezogen; so ist
sie umschließende, befassende Grenze. Die Grenze unterscheidet sich
hier nicht zuerst von dem Etwas ihres Daseyns, sondern ist als Eins
unmittelbar dieser negative Punkt selbst. Aber das Seyn, das hier
begrenzt ist, ist wesentlich als Kontinuität, vermöge der es über die
Grenze und dieß Eins hinausgeht, und gleichgültig dagegen ist. Die
reale diskrete Quantität ist so eine Quantität, oder Quantum,—die
Quantität als ein Daseyn und Etwas.
Indem das Eins, welches Grenze ist, die vielen Eins der diskreten
Quantität in sich befaßt, setzt sie dieselben ebenso wohl als in ihm
aufgehobene; sie ist Grenze an der Kontinuität überhaupt als solcher,
und damit ist hier der Unterschied von kontinuirlicher und diskreter
Größe gleichgültig; oder richtiger, sie ist Grenze an der Kontinuität
der einen sosehr als der andern; beide gehen darein über, Quanta zu
seyn.


Zweites Kapitel. Quantum.

Das Quantum, zunächst Quantität mit einer Bestimmtheit oder Grenze
überhaupt,—ist in seiner vollkommenen Bestimmtheit die Zahl. Das
Quantum unterscheidet sich
zweitens zunächst in extensives, an dem die Grenze als Beschränkung der
daseyenden Vielheit ist, alsdann indem dieses Daseyn ins Fürsichseyn
übergeht,—in intensives Quantum, Grad, welches als fürsich und darin
als gleichgültige Grenze ebenso unmittelbar außersich, seine
Bestimmtheit an einem anderen hat. Als dieser gesetzte Widerspruch, so
einfach in sich bestimmt zu seyn und seine Bestimmtheit außer sich zu
haben und für sie außer sich zu weisen, geht das Quantum
drittens, als das an sich selbst äußerliche Gesetzte in die
quantitative Unendlichkeit über.
A. Die Zahl.
Die Quantität ist Quantum, oder hat eine Grenze; sowohl als
kontinuirliche wie als diskrete Größe. Der Unterschied dieser Arten hat
hier zunächst keine Bedeutung.
Die Quantität ist als das aufgehobene Fürsichseyn schon an und für sich
selbst gegen ihre Grenze gleichgültig. Aber damit ist ihr ebenso die
Grenze, oder ein Quantum zu seyn, nicht gleichgültig; denn sie enthält
das Eins, das absolute Bestimmtseyn, in sich als ihr eigenes Moment,
das also als gesetzt an ihrer Kontinuität oder Einheit ihre Grenze ist,
die aber als Eins, zu dein sie überhaupt geworden, bleibt.
Dieß Eins ist also das Princip des Quantums, aber das Eins als der
Quantität. Dadurch ist es erstlich kontinuirlich, es ist Einheit;
zweitens ist es diskret, an sich seyende (wie in der kontinuirlichen)
oder gesetzte (wie in der diskreten Größe) Vielheit der Eins, welche
die Gleichheit miteinander, jene Kontinuität, dieselbe Einheit haben.
Drittens ist die ß Eins auch Negation der vielen Eins als einfache
Grenze, ein Ausschließen seines Andersseyns aus sich, eine Bestimmung
seiner gegen andere Quanta. Das Eins ist insofern sich à) auf sich
beziehende, (ß) umschließende, und (ç) Anderes ausschließende Grenze.
Das Quantum in diesen Bestimmungen vollständig gesetzt, ist die Zahl.
Das vollständige Gesetztseyn liegt in dem Daseyn der Grenze als
Vielheit und damit ihrem Unterschiedenseyn von der Einheit. Die Zahl
erscheint, deswegen als diskrete Größe, aber sie hat an der Einheit
ebenso die Kontinuität. Sie ist darum auch das Quantum in vollkommener
Bestimmtheit; indem in ihr die Grenze als bestimmte Vielheit, die das
Eins, das schlechthin bestimmte, zu seinem Principe hat. Die
Kontinuität, als in der das Eins nur an sich, als Aufgehobenes
ist,—gesetzt als Einheit,—ist die Form der Unbestimmtheit.
Das Quantum nur als solches ist begrenzt überhaupt, seine Grenze ist
abstrakte, einfache Bestimmtheit desselben. Indem es aber Zahl ist, ist
diese Grenze als in sich selbst mannigfaltig gesetzt. Sie enthält die
vielen Eins, die ihr Daseyn ausmachen, enthält sie aber nicht auf
unbestimmte Weise, sondern die Bestimmtheit der Grenze fällt in sie;
die Grenze schließt anderes Daseyn, d. i. andere Viele aus, und die von
ihr umschlossenen Eins sind eine bestimmte Menge, —die Anzahl, zu
welcher als der Diskretion, wie sie in der Zahl ist, das andere die
Einheit, die Kontinuität derselben, ist. Anzahl und Einheit machen die
Momente der Zahl aus.
Von der Anzahl ist noch näher zu sehen, wie die vielen Eins, aus denen
sie besteht, in der Grenze sind; von der Anzahl ist der Ausdruck
richtig, daß sie aus den Vielen besteht, denn die Eins sind in ihr
nicht als aufgehoben, sondern sind in ihr, nur mit der ausschließenden
Grenze gesetzt, gegen welche sie gleichgültig sind. Aber diese ist es
nicht gegen sie. Beim Daseyn hatte sich zunächst das Verhältniß der
Grenze zu demselben so gestellt, daß das Daseyn als das affirmative
diesseits seiner Grenze bestehen blieb, und diese, die Negation,
außerhalb an seinem Rande sich befand; ebenso erscheint an den vielen
Eins das Abbrechen derselben und das Ausschließen anderer Eins als eine
Bestimmung, die außerhalb der umschlossenen Eins fällt. Aber es hat
sich dort ergeben, daß die Grenze das Daseyn durchdringt, soweit geht
als dieses, und daß Etwas dadurch seiner Bestimmung nach begrenzt, d.
i. endlich ist.—So stellt man im Quantitativen der Zahl etwa Hundert so
vor, daß das hundertste Eins allein die Vielen so begrenze, daß sie
Hundert seyen. Einer Seits ist dieß richtig; anderer Seits aber hat
unter den hundert Eins keines einen Vorzug, da sie nur gleich sind;
jedes ist ebenso das Hundertste; sie gehören also alle der Grenze an,
wodurch die Zahl Hundert ist; diese kann für ihre Bestimmtheit keines
entbehren; die anderen machen somit gegen das hundertste Eins kein
Daseyn aus, das außerhalb der Grenze oder nur innerhalb ihrer,
überhaupt verschieden von ihr wäre. Die Anzahl ist daher nicht eine
Vielheit gegen das umschließende, begrenzende Eins, sondern macht
selbst diese Begrenzung aus, welche ein bestimmtes Quantum ist; die
Vielen machen eine Zahl, Ein Zwei, Ein Zehn, Ein Hundert u.s.f. aus.
Das begrenzende Eins ist nun das Bestimmtseyn gegen Anderes,
Unterscheidung der Zahl von andern. Aber diese Unterscheidung wird
nicht qualitative Bestimmtheit, sondern bleibt quantitativ, fällt nur
in die vergleichende äußerliche Reflexion; die Zahl bleibt als Eins in
sich zurückgekehrt, und gleichgültig gegen Andere. Diese
Gleichgültigkeit der Zahl gegen Andere ist wesentliche Bestimmung
derselben; sie macht ihr An-sich-bestimmtseyn, aber zugleich ihre
eigene Äußerlichkeit aus.—Sie ist so ein numerisches Eins, als das
absolut bestimmte, das zugleich die Form der einfachen Unmittelbarkeit
hat, und dem daher die Beziehung auf anderes völlig äußerlich ist. Als
Eins, das Zahl ist, hat es ferner die Bestimmtheit, insofern sie
Beziehung auf Anderes ist, als seine Momente in ihm selbst, in seinem
Unterschiede der Einheit und der Anzahl, und die Anzahl ist selbst
Vielheit der Eins d. i. es ist in ihm selbst diese absolute
Äußerlichkeit.—Dieser Widerspruch der Zahl oder des Quantums überhaupt
in sich ist die Qualität des Quantums, in deren weitern Bestimmungen
sich dieser Widerspruch entwickelt.
Anmerkung 1.
Die Raumgröße und Zahlgröße pflegen so als zwei Arten betrachtet zu
werden, daß die Raumgröße für sich so sehr bestimmte Größe als die
Zahlgröße wäre; ihr Unterschied bestünde nur in den verschiedenen
Bestimmungen der Kontinuität und Diskretion; als Quantum aber stünden
sie auf derselben Stufe. Die Geometrie hat im Allgemeinen in der
Raumgröße die kontinuirliche, und die Arithmetik in der Zahlgröße die
diskrete Größe zum Gegenstande. Aber mit dieser Ungleichheit des
Gegenstandes haben sie auch nicht eine gleiche Weise und Vollkommenheit
der Begrenzung oder des Bestimmtseyns. Die Raumgröße hat nur die
Begrenzung überhaupt; insofern sie als ein schlechthin bestimmtes
Quantum betrachtet werden soll, hat sie die Zahl nöthig. Die Geometrie
als solche mißt die Raumfiguren nicht, ist nicht Meßkunst; sondern
vergleicht sie nur. Auch bei ihren Definitionen sind die Bestimmungen
zum Theil von der Gleichheit der Seiten, Winkel, der gleichen
Entfernung hergenommen. So bedarf der Kreis, weil er allein auf die
Gleichheit der Entfernung aller in ihm möglichen Punkte von einem
Mittelpunkte beruht, zu seiner Bestimmung keiner Zahl. Diese auf
Gleichheit oder Ungleichheit beruhenden Bestimmungen sind ächt
geometrisch. Aber sie reichen nicht aus, und zu andern z. B. Dreieck,
Viereck, ist die Zahl erforderlich, die in ihrem Princip, dem Eins das
Für-sich-bestimmtseyn, nicht das Bestimmtseyn durch Hülfe eines Andern,
also nicht durch Vergleichung enthält. Die Raumgröße hat zwar an dem
Punkte die dem Eins entsprechende Bestimmtheit; der Punkt aber wird,
insofern er außer sich kommt, ein Anderes, er wird zur Linie; weil er
wesentlich nur als Eins des Raumes ist, wird er in der Beziehung, zu
einer Kontinuität, in der die Punktualität, das Für-sich-Bestimmtseyn,
das Eins, aufgehoben ist. Insofern das Für-sich-Bestimmtseyn im
Außersichseyn sich erhalten soll, muß die Linie als eine Menge von Eins
vorgestellt werden, und die Grenze, die Bestimmung der vielen Eins, in
sich bekommen, d. h. die Größe der Linie—eben so der anderen
Raum-Bestimmungen—muß als Zahl genommen werden.
Die Arithmetik betrachtet die Zahl und deren Figuren, oder vielmehr
betrachtet sie nicht, sondern operirt mit denselben. Denn die Zahl ist
die gleichgültige Bestimmtheit, träge; sie muß von außen bethätigt und
in Beziehung gebracht werden. Die Beziehungsweisen sind die
Rechnungsarten. Sie werden in der Arithmetik nach einander aufgeführt,
und es erhellt, daß eine von der andern abhängt. Der Faden, der ihren
Fortgang leitet, wird jedoch in der Arithmetik nicht herausgehoben.
Aus der Begriffsbestimmung der Zahl selbst aber ergiebt sich leicht die
systematische Zusammenstellung, auf welche der Vortrag dieser Elemente
in den Lehrbüchern einen gerechten Anspruch hat. Diese leitenden
Bestimmungen sollen hier kurz bemerklich gemacht werden.
Die Zahl ist um ihres Principes, des Eins, willen ein äußerlich
Zusammengefaßtes überhaupt, eine schlechthin analytische Figur, die
keinen inneren Zusammenhang enthält. Weil sie so nur ein äußerlich
Erzeugtes ist, ist alles Rechnen das Hervorbringen von Zahlen, ein
Zählen oder bestimmter: Zusammenzählen. Eine Verschiedenheit dieses
äußerlichen Hervorbringens, das nur iminer dasselbe thut, kann allein
in einem Unterschiede der Zahlen gegeneinander, die zusammengezählt
werden sollen, liegen; solcher Unterschied muß selbst anderswoher und
aus äußerlicher Bestimmung genommen werden.
Der qualitative Unterschied, der die Bestimmtheit der Zahl ausmacht,
ist der, den wir gesehen, der Einheit und der Anzahl; auf diesen
reducirt sich daher alle Begriffsbestimmtheit, die in den
Rechnungsarten vorkommen kann. Der Unterschied aber, der den Zahlen als
Quantis zukommt, ist die äußerliche Identität und der äußerliche
Unterschied, die Gleichheit und Ungleichheit, welches
Reflexionsmomente, und unter den Bestimmungen des Wesens beim
Unterschiede, abzuhandeln sind.
Ferner ist noch vorauszuschicken, daß Zahlen im Allgemeinen auf zwei
Weisen hervorgebracht werden können, entweder durch Zusammenfassen oder
durch Trennen bereits zusammengefaßter;—indem beides bei einer auf
dieselbe Weise bestimmten Art von Zählen Statt findet, so entspricht
einem Zusammenfassen von Zahlen, was man positive Rechnungsart, ein
Trennen, was man negative Rechnungsart nennen kann; die Bestimmung der
Rechnungsart selbst, ist von diesem Gegensatze unabhängig.
Nach diesen Bemerkungen folgt hiermit die Angabe der Rechnungsweisen.
Das erste Erzeugen der Zahl ist das Zusammenfassen von Vielen als
solchen, d. i. deren jedes nur als Eins gesetzt ist,—das Numeriren. Da
die Eins äußerliche gegeneinander sind, stellen sie sich unter einem
sinnlichen Bilde dar, und die Operation, durch welche die Zahl erzeugt
wird, ist ein Abzählen an den Fingern, an Punkten u.s.f. Was Vier, Fünf
u.s.f. ist, kann nur gewiesen werden. Das Abbrechen, wie viel zugefaßt
werden soll, ist, indem die Grenze äußerlich ist, etwas Zufälliges,
Beliebiges.—Der Unterschied von Anzahl und Einheit, der im Fortgange
der Rechnungsarten eintritt, begründet ein System, dyadisches,
dekadisches u.s.f.—von Zahlen; ein solches beruht im Ganzen auf der
Beliebigkeit, welche Anzahl konstant wieder als Einheit genommen werden
soll.
Die durch das Numeriren entstandenen Zahlen werden wieder numerirt; und
indem sie so unmittelbar gesetzt sind, sind sie noch ohne alle
Beziehung auf einander bestimmt, gleichgültig gegen Gleichheit und
Ungleichheit, von zufälliger Grösse gegen einander,—daher ungleiche
überhaupt;—Addiren.—Daß 7 und 5 Zwölfe ausmacht, erfährt man dadurch,
daß zu den 7 noch 5 Eins an den Fingern oder sonst hinzunumerirt
werden,—wovon das Resultat nachher im Gedächtnisse, auswendig, behalten
wird; denn Innerliches ist nichts dabei. Ebenso daß 7 x 5 = 35 ist,
weiß man durch das Abzählen an den Fingern u.s.f., daß zu einem Sieben
noch eins hinzu numerirt, dieß fünf Mal bewerkstelligt, und das
Resultat gleichfalls auswendig behalten wird. Die Mühe dieses
Numerirens, der Erfindung der Summen, Produkte, ist durch die fertigen
Eins und Eins oder Eins mal Eins, die man nur auswendig zu lernen hat,
abgethan.
Kant hat (in der Einleitung zur Kritik der reinen Vernunft V.) den
Satz: 7 + 5 = 12, als einen synthetischen Satz betrachtet. "Man
sollte," sagt er, "anfänglich zwar denken, (gewiß!) er sey ein bloß
analytischer Satz, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf
nach dem Satz des Widerspruchs erfolge." Der Begriff der Summe heißt
weiter nichts, als die abstrakte Bestimmung, daß diese zwei Zahlen
zusammengefaßt werden sollen, und zwar als Zahlen auf eine äußerliche,
d. i. begrifflose Weise,—daß von Sieben weiter numerirt werden soll,
bis die hinzuzufügenden Eins, deren Anzahl auf Fünf bestimmt ist,
erschöpft worden; das Resultat führt den sonst bekannten Nahmen Zwölfe.
"Allein," fährt Kant fort, "wenn man es näher betrachtet, so findet
man, daß der Begriff der Summe von 7 + 5 nichts weiter enthalte, als
die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch ganz und gar
nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sey, die beide
zusammenfaßt;"—"ich mag meinen Begriff von einer solchen möglichen
Summe noch so sehr zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölfe
nicht antreffen." Mit dem Denken der Summe, Zergliederung des Begriffs,
hat der Übergang von jener Aufgabe zu dem Resultat allerdings nichts
[zu] thun; "man muß über diese Begriffe hinausgehen und die Anschauung,
fünf Finger u.s.f. zu Hülfe nehmen und so die Einheiten der in der
Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe von Sieben hinzuthun," fügt
er hinzu. Fünf ist allerdings in der Anschauung gegeben, d. h. ein ganz
äußerliches Zusammengefügtseyn des beliebig wiederholten Gedankens,
Eins; aber Sieben ist ebenso wenig ein Begriff; es sind keine Begriffe
vorhanden, über die man hinausgeht. Die Summe von 5 und 7 heißt die
begrifflose Verbindung beider Zahlen, das so begrifflos fortgesetzte
Numeriren von Sieben an, bis die Fünfe erschöpft sind, kann man ein
Zusammenfügen, ein Synthesiren, gerade wie das Numeriren von Eins an,
nennen—ein Synthesiren, das aber gänzlich analytischer Natur ist, indem
der Zusammenhang ein ganz gemachter, nichts darin ist noch hineinkommt,
was nicht ganz äußerlich vorliegt. Das Postulat 5 zu 7 zu addiren
verhält sich zu dem Postulate, überhaupt zu numeriren, wie das Postulat
eine gerade Linie zu verlängern, zu dem, eine gerade Linie zu ziehen.
So leer als der Ausdruck Synthesiren ist, ist die Bestimmung, daß es a
priori geschehe. Zählen ist allerdings keine Empfindungsbestimmung, die
für das a posteriori nach der kantischen Bestimmung von Anschauung
allein übrig bleibt, und Zählen ist wohl eine Beschäftigung auf dem
Boden des abstrakten Anschauens, d. i. welches durch die Kategorie des
Eins bestimmt und wobei von allen anderen Empfindungsbestimmungen,
ebenso sehr als auch von Begriffen abstrahirt ist. Das a priori ist
überhaupt etwas nur Vages; die Gefühlsbestimmung hat als Trieb, Sinn
u.s.f. ebenso sehr das Moment der Aprioritaet in ihr, als Raum und Zeit
als existirend, Zeitliches und Räumliches, a posteriori bestimmt ist.
Im Zusammenhange hiermit kann hinzugefügt werden, daß Kants Behauptung
von der synthetischen Beschaffenheit der Grundsätze der reinen
Geometrie ebenso wenig etwas Gründliches enthält. Indem er angiebt, daß
mehrere wirklich analytisch seyen, so ist allein der Grundsatz, daß die
gerade Linie zwischen zwei Punkten die kürzeste ist, für jene
Vorstellung angeführt. "Mein Begriff vom Geraden enthalte nämlich
nichts von Größe, sondern nur eine Qualität; der Begriff des Kürzesten
komme also gänzlich hinzu, und könne durch keine Zergliederung aus dem
Begriffe der geraden Linie gezogen werden; Anschauung müsse also hier
zu Hülfe genommen werden, vermittelst deren allein die Synthesis
möglich sey."—Es handelt sich aber auch hier nicht von einem Begriffe
des Geraden überhaupt, sondern von gerader Linie, und dieselbe ist
bereits ein Räumliches, Angeschautes. Die Bestimmung (oder wenn man
will, der Begriff) der geraden Linie ist doch wohl keine anderes als
daß sie die schlechthin einfache Linie ist, d. i. in dem
Außersichkommen (der sogenannten Bewegung des Punktes) schlechthin sich
auf sich bezieht, in deren Ausdehnung keine Art von Verschiedenheit der
Bestimmung, keine Beziehung auf einen anderen Punkt, oder Linie
außerhalb ihrer gesetzt ist, hält;—die schlechthin in sich einfache
Richtung. Diese Einfachheit ist allerdings ihre Qualität, und wenn die
gerade Linie schwer analytisch zu definiren scheinen sollte, so wäre es
nur um der Bestimmung der Einfachheit oder Beziehung auf sich selbst
willen, und bloß weil die Reflexion beim Bestimmen zunächst vornehmlich
eine Mehrheit, ein Bestimmen durch andere, vor sich hat; es ist aber
für sich schlechthin nichts Schweres, diese Bestimmung der Einfachheit
der Ausdehnung in sich, ihrer Bestimmungslosigkeit durch Anderes, zu
fassen;—Euklids Definition enthält nichts Anderes als diese
Einfachheit.—Der Übergang nun aber dieser Qualität zur quantitativen
Bestimmung (des Kürzesten), welcher das Synthetische ausmachen sollte,
ist ganz nur analytisch. Die Linie ist als räumlich, Quantität
überhaupt; das Einfachste, vom Quantum gesagt, ist das Wenigste, und
dieß von einer Linie gesagt, ist das Kürzeste. Die Geometrie kann diese
Bestimmungen als Corollarium zur Definition aufnehmen; aber Archimedes
in seinen Büchern über Kugel und Cylinder (s. Haubers Übers. S. ) hat
am zweckmäßigsten gethan, jene Bestimmung der geraden Linie als
Grundsatz hinzustellen, in ebenso richtigem Sinne, als Euklides die
Bestimmung, die Parallellinien betreffend, unter die Grundsätze
gestellt hat, da die Entwickelung dieser Bestimmung, um zu einer
Definition zu werden, gleichfalls nicht der Räumlichkeit unmittelbar
angehörige, sondern abstraktere qualitative Bestimmungen, wie vorhin
Einfachheit, Gleichheit der Richtung und dergleichen erfordert hätte.
Diese Alten haben auch ihren Wissenschaften plastischen Charakter
gegeben, ihre Darstellung streng in der Eigenthümlichkeit ihres Stoffes
gehalten, daher das ausgeschlossen, was für denselben heterogener Art
gewesen wäre.
Der Begriff, den Kant in den synthetischen Urtheilen a priori
aufgestellt hat,—der Begriff von Unterschiedenem, das ebenso untrennbar
ist, einem Identischen, das an ihm selbst ungetrennt Unterschied ist,
gehört zu dem Grossen und Unsterblichen seiner Philosophie. Im
Anschauen ist dieser Begriffe da er der Begriff selbst und Alles an
sich der Begriff ist, freilich gleichfalls vorhanden; aber die
Bestimmungen, die in jenen Beispielen herausgenommen sind, stellen ihn
nicht dar; vielmehr ist die Zahl und das Zählen eine Identität und
Hervorbringen einer Identität, die schlechthin nur äußerlich, nur
oberflächliche Synthese ist, eine Einheit von Eins, solchen, die
vielmehr als an ihnen nicht identisch mit einander, sondern äußerliche,
für sich getrennte, gesetzt sind; in der geraden Linie hat die
Bestimmung, die kleinste zwischen zwei Punkten zu seyn, vielmehr nur
das Moment des abstrakt Identischen, ohne Unterschied an ihm selbst, zu
Grunde zu liegen.
Ich kehre von dieser Unterbrechung zum Addiren selbst zurück. Die ihm
entsprechende, negative Rechnungsart, das Subtrahiren, ist das ebenso
ganz analytische Trennen in Zahlen, die wie im Addiren, nur als
Ungleiche überhaupt gegeneinander bestimmt sind.
2. Die nächste Bestimmung ist die Gleichheit der Zahlen, die numerirt
werden sollen. Durch diese Gleichheit sind sie eine Einheit, und es
tritt hiermit an der Zahl der Unterschied von Einheit und Anzahl ein.
Die Multiplikation ist die Aufgabe, eine Anzahl von Einheiten, die
selbst eine Anzahl sind, zusammenzuzählen. Es ist dabei gleichgültig,
welche von den beiden Zahlen als Einheit und welche als Anzahl
angegeben, ob viermal drei, wo Vier die Anzahl, und drei die Einheit
ist, oder umgekehrt dreimal vier, gesagt wird.—Es ist oben schon
angegeben, daß das ursprüngliche Finden des Produkts durch das einfache
Numeriren, d. i. das Abzählen an den Fingern u.s.f. bewerkstelligt
wird; das spätere unmittelbare Angebenkönnen des Produkts beruht auf
der Sammlung jener Produkte, dem Einmaleins, und dem Auswendig-Wissen
desselben.
Die Division ist die negative Rechnungsart nach derselben Bestimmung
des Unterschieds. Es ist ebenso gleichgültig, welcher von beiden
Faktoren, der Divisor oder der Quotient, als Einheit oder als Anzahl
bestimmt wird. Der Divisor wird als Einheit und der Quotient als Anzahl
bestimmt, wenn die Aufgabe der Division ausgesprochen wird, daß man
sehen wolle, wie oft (Anzahl) eine Zahl (Einheit) in einer gegebenen
enthalten sey; umgekehrt wird der Divisor als Anzahl und der Quotient
als Einheit genommen, wenn gesagt wird, man soll eine Zahl in eine
gegebene Anzahl gleicher Theile theilen und die Grösse solchen Theils
(der Einheit) finden.
3. Die beiden Zahlen, welche als Einheit und Anzahl gegeneinander
bestimmt sind, sind als Zahl noch unmittelbar gegeneinander, und daher
überhaupt ungleich. Die weitere Gleichheit ist die der Einheit und der
Anzahl selbst; so ist der Fortgang zur Gleichheit der Bestimmungen, die
in der Bestimmung der Zahl liegen, vollendet. Das Zählen, nach dieser
vollständigen Gleichheit ist das Potenziren, (die negative Rechnungsart
das Wurzelausziehen)—und zwar zunächst das Erheben einer Zahl ins
Quadrat,—das vollkommene Bestimmtseyn des Numerirens in sich selbst, wo
1) die vielen Zahlen, die addirt werden, dieselben sind, und 2) deren
Vielheit oder Anzahl selbst dieselbe ist mit der Zahl, die vielmal
gesetzt wird, die Einheit ist. Es sind sonst keine Bestimmungen in dem
Begriffe der Zahl, die einen Unterschied darbieten könnten; noch kann
ein weiteres Ausgleichen des Unterschiedes, der in in der Zahl liegt,
Statt finden. Erhebung in höhere Potenzen als in das Quadrat, ist eine
formelle Fortsetzung Theils—bei den geraden Exponenten,—nur eine
Wiederholung des Quadrirens, Theils bei den ungeraden Potenzen—tritt
wieder die Ungleichheit ein; bei der nämlich formellen Gleichheit (z.B.
zunächst beim Kubus) des neuen Faktors mit der Anzahl sowohl als mit
der Einheit, ist er als Einheit, gegen die Anzahl (das Quadrat, 3 gegen
3. 3) ein Ungleiches; noch mehr beim Kubus von Vier, wo die Anzahl, 3,
nach der die Zahl, die die Einheit ist, mit sich multiplicirt werden
soll, von dieser selbst verschieden ist.—Es sind an sich diese
Bestimmungen als der wesentliche Unterschied des Begriffs, die Anzahl
und die Einheit, vorhanden, welche für das vollständige
In-sich-Zurückgehen des Außer-sich-gehens auszugleichen sind. In dem so
eben Dargestellten liegt weiter der Grund, warum Theils die Auflösung
der höheren Gleichungen in der Zurückführung auf die quadratische
bestehen muß, Theils warum die Gleichungen von ungeraden Exponenten
sich nur formell bestimmen, und gerade wenn die Wurzeln rational sind,
diese sich nicht anders als durch einen imaginären Ausdruck, d. h. der
das Gegentheil dessen ist, was die Wurzeln sind und ausdrücken, finden
lassen.—Das Quadrat der Arithmetik enthält nach dem Angegebenen, allein
das Schlechthin-Bestimmtseyn in sich; weswegen die Gleichungen mit
weitern formellen Potenzen darauf zurückgeführt werden müssen, gerade
wie das rechtwinklichte Dreieck in der Geometrie das
Schlechthin-in-sich-Bestimmtseyn enthält, das im pythagoräischen
Lehrsatz exponirt ist, weswegen auch darauf für die totale Bestimmung
alle anderen geometrischen Figurationen reducirt werden müssen.
Ein nach einem logisch gebildetem Urtheile fortschreitender Unterricht